眾所周知，高爾夫球的凹痕對(duì)其空氣動(dòng)力學(xué)特性至關(guān)重要：它們會(huì)產(chǎn)生湍流，減少球的阻力。然而，這聽(tīng)起來(lái)是不是違反直覺(jué)？一般來(lái)說(shuō)，光滑的物體比粗糙的物體更符合空氣動(dòng)力學(xué)。在今天的博文中，我們將深入探討這個(gè)看起來(lái)有明顯悖論的問(wèn)題；學(xué)習(xí)如何在 COMSOL Multiphysics? 軟件中使用這些知識(shí)模擬高爾夫球的軌跡，最終找到擊球的最佳角度。閱讀本文，了解獲得一桿進(jìn)洞的機(jī)會(huì)……

從觀察到數(shù)學(xué)模型

雖然我不知道如何打高爾夫球，但是我始終認(rèn)為球表面凹痕的存在是有原因的，可能是為了美觀或讓球在空中飛得更快。

有沒(méi)有想過(guò)為什么高爾夫球有凹痕？

現(xiàn)在通過(guò)工程師的視角再看一遍那些熟悉的球：為什么它們有凹痕？我可以使用 COMSOL Multiphysics 模擬高爾夫球嗎？我可以優(yōu)化我的擊球方式以減少丟球，并有可能打出標(biāo)準(zhǔn)桿嗎？之前的一篇文章已經(jīng)幫助我改進(jìn)了我的高爾夫揮桿，但我需要更多可以幫助我的信息，所以我找到了我的教科書(shū)……

對(duì)阻力危機(jī)的觀察

縱觀歷史，科學(xué)家們研究了許多不同形狀的流動(dòng)。例如，渦街是由圓柱體繞流產(chǎn)生的。雖然球體不會(huì)產(chǎn)生這種大的交替流動(dòng)結(jié)構(gòu)，但流動(dòng)特性也可以與雷諾數(shù)聯(lián)系起來(lái)。在密度為 dd , 動(dòng)力黏性為 ρ\rho , 速度為 μ\mu 的流體中的直徑為 UU 的球體，雷諾數(shù) Re 由下式定義：

(1)

低雷諾數(shù)流動(dòng)被認(rèn)為是層流，黏性力占主導(dǎo)地位。反之，如果雷諾數(shù)很大，則流動(dòng)是湍流，慣性力占主導(dǎo)地位。與其比較阻力的絕對(duì)值 DD ，即物體對(duì)流動(dòng)的阻力，較為常規(guī)的做法是定義無(wú)量綱阻力系數(shù) CDC_D

(2)

其中， A=14πd2A=\frac{1}{4} \pi d^2 是球的橫截面積。

Gustave Eiffel 和 Ludwig Prandtl 幾乎同時(shí)觀察到，根據(jù)流態(tài)的不同，球體的阻力系數(shù)不是恒定的，甚至在很小的雷諾數(shù)范圍內(nèi)也有顯著的差異。這種阻力系數(shù)的突然下降通常被稱(chēng)為阻力危機(jī)，在其他類(lèi)型的球（如足球和橄欖球）中也可以觀察到。唯一的區(qū)別是阻力危機(jī)發(fā)生的位置，如下圖所示。

光滑的球和高爾夫球的阻力系數(shù)分布比較。凹痕已將阻力危機(jī)轉(zhuǎn)向較低的雷諾數(shù)值，但與光滑的球相比，下降幅度較小。另請(qǐng)注意，高爾夫球的阻力系數(shù)僅在有限的雷諾值范圍內(nèi)較小。

已知球手擊出的高爾夫球的典型速度約為 260 公里/小時(shí)（160 英里/小時(shí)），考慮高爾夫球官方的設(shè)計(jì)（ d=d= 42.67 毫米），可以給出一個(gè)典型的雷諾數(shù) 2?1052 \cdot 10^5 。從上圖可以看出，這使得阻力系數(shù)落在雷諾數(shù)的完美范圍內(nèi)：此時(shí)阻力系數(shù)大約是光滑球阻力系數(shù)值的一半。這就解釋了高爾夫球上有凹痕的原因。對(duì)于高爾夫球?qū)⒔?jīng)歷的特定雷諾數(shù)范圍，阻力較低。因此，球可以走得更遠(yuǎn)。

你可能對(duì)這個(gè)答案不滿意。我們觀察到，有凹痕的高爾夫球具有較低的阻力，但我們還沒(méi)有解釋 為什么 阻力危機(jī)發(fā)生在較低的速度。要理解這種現(xiàn)象，我們必須仔細(xì)觀察球體周?chē)牧鲃?dòng)。

產(chǎn)生阻力危機(jī)的原因

首先，我們回顧一下，物體的阻力是由兩個(gè)來(lái)源引起的：

壓差阻力，也稱(chēng)為 型阻，由在物體周?chē)膲毫Ψ植籍a(chǎn)生。沿邊界的剪切應(yīng)力產(chǎn)生的黏性阻力

對(duì)于鈍體，例如光滑的球，壓差阻力在所研究的雷諾數(shù)范圍內(nèi)最為顯著。因此，球體周?chē)膲毫Ψ植紝Q定其總阻力。

在不涉及湍流模型的情況下，首先在球體的前部形成層流邊界層（流動(dòng)在幾乎不交換質(zhì)量或動(dòng)量的不同層中分離）。從這一點(diǎn)來(lái)看，有兩種選擇，具體取決于流動(dòng)的類(lèi)型：

如果流動(dòng)是充分的層流（低雷諾數(shù)），邊界層將沒(méi)有時(shí)間過(guò)渡到湍流邊界層，就會(huì)由于不利的壓力梯度在大約 82° 的角度處分離，并在球體后面產(chǎn)生大的尾流。如果流動(dòng)是充分的湍流，邊界層將有時(shí)間在臨界 的82°之前過(guò)渡到湍流邊界層。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，流動(dòng)會(huì)更好地混合，這使得邊界層頂部的動(dòng)量交換成為可能。這會(huì)使邊界層底部獲得能量，增加了壁面附近的速度梯度，并將流動(dòng)分離延遲到大約 120°的角度。看起來(lái)流動(dòng) “黏”在表面上的效果更好。

高爾夫球和光滑球體后面的湍流尾流的比較。雷諾數(shù)約為 1e51e^5 。

源自湍流邊界層分離的帶凹痕的高爾夫球（頂部）和源自層流邊界層分離的光滑球（底部）后面的湍流尾流的比較。請(qǐng)注意，凹痕球的分離點(diǎn)位于更遠(yuǎn)的下游，尾流也更小。

大量能量在湍流尾流中損失，使壓力顯著下降。因此，作為球體的主要阻力，壓差阻力就主要受尾流區(qū)域大小的影響。根據(jù)這些信息，阻力系數(shù)圖就更能說(shuō)得通。對(duì)于高爾夫球來(lái)說(shuō)：

由于凹痕誘導(dǎo)產(chǎn)生的小渦流，雷諾數(shù)較低時(shí)會(huì)發(fā)生從層流邊界層到湍流邊界層的過(guò)渡。這會(huì)產(chǎn)生較小的尾流，因此阻力較小。與光滑的球相比，凹痕球的阻力危機(jī)并不深。對(duì)于相似的尾流大小，粗糙的表面使得來(lái)自前方球體的黏性阻力變得不可忽略。

高爾夫球的空氣動(dòng)力建模

現(xiàn)在，我們明白了為什么高爾夫球會(huì)有凹痕：阻力較低，因此球可以走得更遠(yuǎn)。為了知道球可以走多遠(yuǎn)，我們首先需要計(jì)算它的軌跡。作用在球上的力和初始條件如下圖所示，忽略浮力的影響，因?yàn)榍驇缀醣认鄳?yīng)體積的空氣重 1000 倍。

初始條件和作用于高爾夫球上的力。

初始條件可以從之前的性能分析的最終結(jié)果中得出，其中球被 7 號(hào)鐵桿以 145 公里/小時(shí)（90 英里/小時(shí)）的軸速擊打：

初始球速：187 公里/小時(shí)（116 英里/小時(shí)）初始轉(zhuǎn)速：6113 轉(zhuǎn)/分初始發(fā)射角度：17.4°

使用牛頓第二定律對(duì)質(zhì)量為 mm 的球進(jìn)行分析， a→\overrightarrow{a} 是它的加速度和 Fg→\overrightarrow{F_g} 是它的重力：

阻力的模是通過(guò)重新排列方程2來(lái)計(jì)算的:

同樣，由馬格努斯效應(yīng)產(chǎn)生的升力由升力系數(shù) 定義，這取決于球的旋轉(zhuǎn)速度

Bearman 和 Harvey 在 1976 年對(duì)升力系數(shù)與高爾夫球旋轉(zhuǎn)速率的相關(guān)性進(jìn)行了廣泛的研究（參考文獻(xiàn)1）。他們還觀察到阻力系數(shù)也應(yīng)該取決于旋轉(zhuǎn)（第一個(gè)圖的曲線適用于一個(gè)特定的旋轉(zhuǎn)速率）。為了更普遍的描述，引入了一個(gè)無(wú)量綱自旋因子, 即圓周速度與流速之比:

雖然可以說(shuō)結(jié)果是針對(duì)老式高爾夫球獲得的，而且現(xiàn)在的曲線可能有所不同，但 Bearman 和 Harvey 的結(jié)果涵蓋了現(xiàn)有文獻(xiàn)中最大范圍的雷諾數(shù)和自旋因子。因此，不應(yīng)將文章中獲得的結(jié)果視為現(xiàn)代高爾夫球的真實(shí)值。下面的曲線是通過(guò)使用結(jié)合使用 COMSOL 模型和曲線擬合 App 對(duì)來(lái)自參考文獻(xiàn)1中圖 9 的數(shù)據(jù)使用曲線數(shù)字化儀 App擬合三次多項(xiàng)式曲線而獲得的：

以自旋因子計(jì)算的阻力和升力系數(shù)分布。

光滑球的阻力系數(shù)取自標(biāo)準(zhǔn)阻力相關(guān)性（見(jiàn)第一張圖片），升力系數(shù)近似等于旋轉(zhuǎn)高爾夫球的升力系數(shù)（實(shí)際上這個(gè)系數(shù)更?。?/p>

最后，由于摩擦?xí)p慢旋轉(zhuǎn)速度，因此可以使用指數(shù)衰減對(duì)旋轉(zhuǎn)速率進(jìn)行建模，如 Smits 和 Smith 提出的（參考文獻(xiàn)2）。

式中，c=10?4c=10^{-4} 是一個(gè)實(shí)驗(yàn)常數(shù)。

考慮到阻力與球的運(yùn)動(dòng)方向相反，升力與球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，我們通過(guò)在x軸和y軸上的投影得到以下方程組：

和 U=x˙2+y˙2U=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}

該方程組由一組常微分方程 (ODE) 組成，由于所有變量之間的依賴(lài)關(guān)系，它可能看起來(lái)很復(fù)雜。然而，使用 COMSOL Multiphysics 來(lái)實(shí)現(xiàn)和求解實(shí)際上很簡(jiǎn)單。

在 COMSOL Multiphysics? 中建立高爾夫球模型

實(shí)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的最簡(jiǎn)單的方法是在一個(gè) 0 維組件中使用 事件 接口，它既可以使用全局方程節(jié)點(diǎn)求解方程8，并在球落地時(shí)（ y=0y=0 ）停止計(jì)算。

設(shè)置研究使用的變量。

第一步是設(shè)置研究使用的不同變量。在軟件中，它們是通過(guò)不同的函數(shù)和全局參數(shù)來(lái)計(jì)算的。特別是， smooth 參數(shù)決定了被發(fā)射球的類(lèi)型：

帶凹痕的高爾夫球 ( smooth=0)光滑球 ( smooth=1)

數(shù)量 xt 和 yt 是位置的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，由事件接口計(jì)算。

求解球的位置的全局方程組。

第二步是使用相應(yīng)的初始條件建立方程8的系統(tǒng)。由于已經(jīng)定義了所有參數(shù)和變量，因此這一步很簡(jiǎn)單。

離散狀態(tài)接口用于定義球是否已經(jīng)落地。

與之前的文章一樣，添加一個(gè)最適合開(kāi)/關(guān)條件的離散狀態(tài) 變量。這代表了球的整體狀態(tài)：它要么已經(jīng)著陸，要么沒(méi)有。最初，球被認(rèn)為沒(méi)有落地，所以 landed=0。

指示器狀態(tài)接口僅僅是當(dāng)前的高度。一旦球落地，離散狀態(tài)就會(huì)打開(kāi)。

離散狀態(tài)只有當(dāng)球接觸地面時(shí)才會(huì)被更新。我們不知道這個(gè)事件什么時(shí)候會(huì)發(fā)生，但我們可以用數(shù)學(xué)方法來(lái)翻譯它（高度變成負(fù)數(shù)）。這就是隱式事件節(jié)點(diǎn)的確切用途：當(dāng)指示器狀態(tài)（此處為當(dāng)前高度）滿足特定條件時(shí)，事件就被觸發(fā)。

求解器序列被修改以添加停止條件。

最后一步是創(chuàng)建研究 節(jié)點(diǎn)。參數(shù)研究 可以被用來(lái)依此計(jì)算高爾夫球和光滑球，和隨時(shí)間變化的研究可以用于求解球的軌跡。為了事件被激活時(shí)停止計(jì)算，需要修改瞬態(tài)研究中的求解器序列。

仿真結(jié)果

現(xiàn)在一切都設(shè)置好了，讓我們開(kāi)始研究吧！

高爾夫球和被 7 號(hào)鐵桿擊中的光滑球的軌跡的實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)。與光滑球相比，有凹痕的球受到的阻力要小得多（顏色圖例顯示了阻力系數(shù)）。請(qǐng)注意，球在軌跡的頂部經(jīng)歷了阻力危機(jī)，其速度（因此雷諾數(shù)）變低。

請(qǐng)注意，軌跡的形狀不是拋物線，如果忽略阻力或升力，人們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)。球首先幾乎直線上升，然后在達(dá)到最大高度后突然下降。從結(jié)果中可以看出，與光滑的球相比，帶有凹痕的球前進(jìn)了 25%（30 米或 33 碼）。換句話說(shuō)，現(xiàn)在離草地更近了，并且不需要額外的力！

這個(gè)解釋來(lái)自這樣一個(gè)事實(shí)，即在整個(gè)飛行過(guò)程中，對(duì)抗球運(yùn)動(dòng)的阻力對(duì)于高爾夫球來(lái)說(shuō)要小得多（原因在開(kāi)頭已經(jīng)提到）。當(dāng)球達(dá)到其最大高度時(shí)，與高度成正比的勢(shì)能也達(dá)到最大值。這種能量轉(zhuǎn)移是在損失動(dòng)能的情況下進(jìn)行的；所以球走得更慢。因此，雷諾數(shù)減少（或等效地，自旋因子增加）并且阻力因此增加。

關(guān)于大約 150m（165 碼）的絕對(duì)運(yùn)球距離，這遠(yuǎn)大于普通球員的典型高爾夫擊球距離（128 m 或 140 碼），但處于 PGA 球員典型擊球距離的下限?？紤]到阻力和升力數(shù)據(jù)并非源自現(xiàn)代高爾夫球，該結(jié)果是合理的。

尋找最佳發(fā)射角度

凹痕對(duì)高爾夫球的影響現(xiàn)在應(yīng)該很清楚了：它們使球飛得更遠(yuǎn)。然而，實(shí)際上，這并沒(méi)有說(shuō)明我應(yīng)該如何 擊球。假設(shè)桿身速度和攻角恒定，我應(yīng)該給球施加什么發(fā)射角度，才能優(yōu)化運(yùn)球距離？第一種方法是運(yùn)行參數(shù)研究，甚至是優(yōu)化研究，來(lái)找到該值。這是一個(gè)圖表，顯示了在給定攻角和旋轉(zhuǎn)速率下，根據(jù)發(fā)射角度的運(yùn)球距離。

參數(shù)研究的結(jié)果，使用 -4.3° 的攻角和 6113rpm 的初始旋轉(zhuǎn)，使用 7 號(hào)鐵桿?？雌饋?lái)最佳發(fā)射角度應(yīng)該在 20° 左右。

從這個(gè)數(shù)字來(lái)看，最佳攻角似乎在 20° 左右。然而，PGA 高爾夫球手（理論上，他們應(yīng)該平均接近優(yōu)化的角度）平均以 16° 的角度射擊。出了什么問(wèn)題？我們關(guān)于恒定旋轉(zhuǎn)速率的假設(shè)是錯(cuò)誤的：以更大的發(fā)射角度擊球意味著擊球時(shí)桿面需要“更加水平”。就像網(wǎng)球中的球被“切片”一樣，由于摩擦力更大，高爾夫球旋轉(zhuǎn)得更快，但速度更慢。

恒定攻角的兩個(gè)動(dòng)態(tài)桿面傾角的比較。該角度的測(cè)量是與水平線相比。當(dāng)動(dòng)態(tài)桿面傾角增加時(shí)，發(fā)射角增加。由于動(dòng)態(tài)桿面傾角和攻角（通常稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)傾角”）之間的角度變大，球會(huì)旋轉(zhuǎn)得更快。

找到發(fā)射角度、旋轉(zhuǎn)速率和球速之間的關(guān)系不是直接的，而且不需要實(shí)驗(yàn)或模擬的結(jié)果。那么，既然我們已經(jīng)準(zhǔn)備好了一個(gè)高爾夫球模型，就通過(guò)參數(shù)化來(lái)使用它！

教程模型參數(shù)化結(jié)果。使用三次樣條對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行插值以獲得更平滑的曲線。正如預(yù)期的那樣，較大的發(fā)射角會(huì)增加旋轉(zhuǎn)速率，而速度則具有相反的行為。

我們必須謹(jǐn)慎對(duì)待結(jié)果，并應(yīng)該進(jìn)行更詳細(xì)的研究，包括網(wǎng)格收斂研究，與其他軸的曲線比較等。盡管如此，結(jié)果仍然足夠符合現(xiàn)實(shí)。

7 號(hào)鐵桿的運(yùn)球距離，取決于非恒定旋轉(zhuǎn)的 -4.3° 攻角的發(fā)射角度。曲線已轉(zhuǎn)移到較低的發(fā)射角度值，以更好地捕捉真實(shí)世界的行為。

現(xiàn)在我們可以使用正確的自旋和速度值再次運(yùn)行參數(shù)研究。請(qǐng)注意，曲線已向左移動(dòng)。換句話說(shuō)，似乎減小發(fā)射角度（因此是動(dòng)態(tài)桿面傾角）有助于減少自旋，并為球提供更高的平移動(dòng)能。正如人們所期望的那樣，該曲線并未以 16° 為中心。然而，為了獲得這個(gè)結(jié)果，人們提出了許多假設(shè)（例如阻力和升力的分布以及自旋速率的相關(guān)性），這些假設(shè)對(duì)最終結(jié)果有很大影響。關(guān)于現(xiàn)代高爾夫球和球撞擊分析的數(shù)據(jù)越多，越有助于獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果。

結(jié)論

在今天的文章中我們回答了一個(gè)關(guān)于高爾夫球凹痕的看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這與特定雷諾數(shù)范圍內(nèi)球體上湍流邊界層的行為有關(guān)。這也概述了工程中的一個(gè)經(jīng)典過(guò)程。對(duì)普通物體的觀察使我們對(duì)復(fù)雜的物理現(xiàn)象有了更深入的了解，進(jìn)而使我們能夠在 COMSOL Multiphysics 的某些假設(shè)下對(duì)其進(jìn)行建模和驗(yàn)證。最后，我們找到了一個(gè)最佳的發(fā)射角度，并提取了對(duì)真實(shí)擊球有用的信息。

很多高爾夫球觀眾可能已經(jīng)問(wèn)過(guò)與我類(lèi)似的問(wèn)題。要記住的教訓(xùn)是，盡量降低動(dòng)態(tài)傾角，同時(shí)保持相同的攻角，以降低旋轉(zhuǎn)速度。雖然仿真結(jié)果聽(tīng)起來(lái)很簡(jiǎn)單，但我不確定如何在球道上做到這一點(diǎn)。所以，如果要打好高爾夫球需要請(qǐng)教專(zhuān)業(yè)的高爾夫教練，而不是模擬工程師！

自己嘗試

嘗試在 COMSOL Multiphysics 中計(jì)算高爾夫球的軌跡。單擊下面的按鈕訪問(wèn)此文章中的模型文件：

參考文獻(xiàn)

P. Bearman and J.K. Harvey, “Golf ball aerodynamics”, Aeronautical Quarterly, vol. 27, no., pp. 112–122, 1976.A.J. Smits and D.R. Smith, “A new aerodynamic model of a golf ball in flight”, Science and Golf II, Taylor & Francis, pp. 433–442, 2002.