寫這篇文章之前自己其實(shí)一直想寫傅里葉變換的文章，但是囿于知識(shí)水平和文筆有限，一直不敢動(dòng)筆。在查閱相關(guān)文章、資料時(shí)發(fā)現(xiàn)了知乎里的這個(gè)提問和回答，尤其是【陳二喜】同學(xué)的回答展現(xiàn)出了超凡才華，可是很遺憾，喜哥的文章沒有更完，賬號(hào)也注銷了。

因此，我斗膽仿照喜哥這個(gè)文風(fēng)寫下去，希望能更新完，以下是原文。

什么是傅里葉分析（上）——時(shí)間的朋友

每個(gè)人都有不同的頻率

我們被挑選著來到這個(gè)世界

混沌、相遇與別離

時(shí)間像一條蜿蜒的河

回憶在其中流淌

倒映出斑斕的畫面

那些可愛的人影，若隱若現(xiàn)

1

那個(gè)時(shí)候，我們經(jīng)歷完高中三年昏天暗地的學(xué)習(xí)以及高考的淬煉，從祖國的四面八方來到這里，開啟了我們奮進(jìn)又渾噩的大學(xué)生活。我認(rèn)識(shí)了一幫聰明而愚笨、正經(jīng)卻又灑脫的良師益友。

洋仔來自湖南湘西，一個(gè)傳說中誕生了趕尸、蠱毒和落花洞女“三邪”的地方。據(jù)洋仔后來不經(jīng)意間提到，在他們那里，每年清明前后都會(huì)舉行趕尸、放蠱技能大賽。而他因?yàn)閭€(gè)人技能突出每年都會(huì)被選為他們寨子的代表，用他的話來說，沒有他，他們寨就會(huì)輸。

洋仔是屬于那種別人批評(píng)他，還沒開始，他就會(huì)自己貶低自己，把自己貶得一無是處，直到別人也感覺不好意思，于是批評(píng)的話經(jīng)常就變成贊美了。所以洋仔總是很樂呵，他的臉上經(jīng)常掛滿了誠懇而舒坦的笑容。

洋仔是我們中讀書最多的。在我們通宵打游戲、亦或是趴在窗口用廉價(jià)單筒望遠(yuǎn)鏡偷看對(duì)面女生宿舍的時(shí)候，洋仔總是蜷在他自己的世界里，端著一個(gè)老舊的功能手機(jī)有滋有味地閱讀起來。洋仔最喜歡金庸的武俠小說，每次當(dāng)他讀完《笑傲江湖》后都會(huì)躺在床上呢喃：江湖本身就是一個(gè)無奈，談何笑傲呢？一曲天籟，訴不盡這淡淡憂傷，也奏不完這世態(tài)炎涼。

洋仔時(shí)不時(shí)會(huì)給我們宣貫叔本華的哲學(xué)思想，他總是說，人生的根本狀態(tài)是沒有目的和意義的，只不過是在痛苦和無聊之間的搖擺。所以我們智慧的人生不是追求幸福，而是放棄欲望從而減少痛苦。而要做到這一點(diǎn)，要么就是徹底放棄自我、否定自己的意志。要么退一步，通過提高對(duì)音樂、藝術(shù)等的審美體驗(yàn)來間接的、偶爾的獲得內(nèi)心片刻的安寧。

坦白說，我有時(shí)候會(huì)驚詫于他與我們一般年紀(jì)卻能看得這般通透，但有時(shí)候又對(duì)他這種論調(diào)嗤之以鼻。我總是會(huì)在心里下意識(shí)的批判，這不就是在給自己的慵懶、退縮找理由嘛，所謂明明庸碌無為卻仍然高呼平凡可貴，跟歷史虛無主義有什么區(qū)別嘛。

一天晚上，宿舍熄燈后我們又例行開始了“寢談”，想必大家都有體會(huì)，大學(xué)“寢談”的內(nèi)容無所不包。從班上哪個(gè)女同學(xué)最漂亮和誰又有曖昧到詹姆斯和科比誰更厲害誰是現(xiàn)役第一，再到中東這個(gè)蛋疼的地方為什么這么蛋疼，以及弦論究竟能不能成為宇宙的大一統(tǒng)理論等等，只要思維所及之處，都可以成為我們高談闊論、舌燦蓮花的話題。洋仔對(duì)我們說，我給你們講個(gè)故事吧。

話說清末民初年間，北平海淀區(qū)火器營村有一大戶人家，戶主名叫松老三，靠著和官府勾結(jié)賣鴉片煙斂了大筆不義之財(cái)。松老三有個(gè)女兒乳名小芽，長到十五六歲的時(shí)候，可謂是亭亭玉立。用《詩經(jīng)》里的話說就是“手如柔荑，膚如凝脂，領(lǐng)如蝤蠐，齒如瓠犀，螓首蛾眉，巧笑倩兮，美目盼兮”。翻譯過來就是，膚白貌美大長腿，豐乳肥臀水蛇腰，明眸皓齒小酒窩，回眸一笑——真叫個(gè)人見人愛花見花開鬼見鬼癡呆。正是這樣的可人兒，眼見著到了適婚年齡，說媒的人在松老三家里踏破了門檻。

松老三看著管家遞上來的求親名單，瞇著雙眼嘬著水煙心里琢磨著怎樣給小芽覓得一金龜婿，思索良久，松老三心生一計(jì)。他叫管家召集了求親的100位男青年，道：今日召集諸位欲給小女覓得一如意郎君，不求你貌似潘安、形比衛(wèi)玠，但愿你能情比金堅(jiān)、相敬如賓。言下之意就是帥不帥不重要，重要的是只要你對(duì)待感情忠誠、能夠?qū)π⊙亢镁涂梢粤?。語畢，大堂里61位男青年熱烈鼓掌，拍手叫好。松老三見狀，森森然吩咐管家把這61人的名字劃掉了。

松老三又道：我松老三嫁女，無需你良田萬頃、豪邸數(shù)間，但求你能與小芽同甘共苦、攜手并進(jìn)。意思是說有沒有房子不重要，重要的是能夠一起相濡以沫、共同打拼就好。話音未落，大堂里28位男青年興奮至極，恨不得沖上去給未來的老丈人豎個(gè)大拇指點(diǎn)個(gè)贊。管家識(shí)體，繼續(xù)劃掉了這28人的名字。

最后松老三又說：欲與小芽喜結(jié)良緣，不求聞達(dá)于名門望族，但求腹有經(jīng)綸，能與小女吟詩作賦、共議書畫。這就是說，當(dāng)不當(dāng)官、家里有沒有關(guān)系不重要，重要的是只要有知識(shí)、能當(dāng)?shù)蒙闲⊙康撵`魂伴侶就行。言畢，大堂里有8位男青年再次翹首企盼起來，松老三再次劃掉了這8人的名字。

最終，經(jīng)過這番操作之后，最開始求親的那100位男青年，就變成了：61位丑比+28位窮比+8位苦比+3位帥氣多金有勢(shì)的baby。松老三于是急匆匆將小芽從閨房里叫出來，讓她和最后這3位男青年來一輪face to face的pick。

聽到這里，我們不禁暗暗佩服洋仔的博聞強(qiáng)識(shí)，在熄燈后的宿舍里，我們的嘴角隱約都泛起了賤笑，賤兮兮的。我們同時(shí)不得不佩服松老三的高明，經(jīng)過他這一番操作之后，在一團(tuán)亂糟糟的對(duì)象中，輕易就挑選出了自己想要的，如下圖。

后來在高數(shù)課堂和信號(hào)與系統(tǒng)課堂上，我們幡然大悟原來這就可以理解為是傅里葉分析的雛形了，科學(xué)的叫法是“濾波”，我們?cè)俅伪凰衫先钠婕家伤鄯?/p>

其實(shí)故事到這里還沒完，洋仔接著說道，小芽經(jīng)過一番pick之后其實(shí)并沒有選擇最后剩下的3位男青年中的任何一個(gè)，而是后來一次偶然的機(jī)會(huì)邂逅了村口的木匠青年佟小六，并對(duì)其心生情愫，兩人暗通款曲偷偷幽會(huì)起來。那是一個(gè)初夏的傍晚，兩人再次相約在西郊的清水河畔，雖然樹丫早已長出新芽，北平城的郊野仍然略顯荒涼。佟小六趕到時(shí)發(fā)現(xiàn)小芽已經(jīng)在河畔踟躕徘徊良久，夕陽下的小芽更顯嬌艷動(dòng)人。佟小六刻意放緩腳步開始吟誦起來：靜女其姝，俟我于城隅。愛而不見，搔首踟躕。靜女其孌，貽我彤管。彤管有煒，說懌女美。

正當(dāng)兩人依偎在一起你儂我儂時(shí)，勃然大怒的松老三不知從哪里冒了出來，認(rèn)為小芽偷偷和別人幽會(huì)是辱沒祖宗、敗壞門庭，更何況對(duì)方還是這么一個(gè)名不見經(jīng)傳的窮小子。松老三硬生生將小芽拖回去之后用皮鞭把她打得皮開肉綻。小芽被逼無奈，內(nèi)心屈辱難忍，一狠心就跳了清水河。佟小六聽說小芽已經(jīng)跳河走了，他帶著燒紙來到清水河畔，在一個(gè)凄風(fēng)苦雨的夜晚，祭奠完他的小芽妹妹后也跟著跳了河。

為紀(jì)念這個(gè)愛情故事，洋仔說，后來有人編成了小曲到處傳唱，這就是《探清水河》。

（這里本來是有《探清水河》的音樂鏈接……知乎無法插入，蛋疼）

聽完這個(gè)故事后，我們唏噓不已，我們敬佩兩人對(duì)愛情的堅(jiān)貞和矢志不渝，也對(duì)小芽為何愛上佟小六心生疑惑。他無財(cái)無權(quán)無勢(shì)，長相平平，但在那些男青年中，俘獲小芽芳心的偏偏就只有他。

也許只是因?yàn)榇_認(rèn)過一個(gè)眼神吧，又或許是因?yàn)闅鈭鱿嗯渚壏窒嗤?，兩人的一顰一蹙，在彼此眼里就是最美的畫符——也有可能沒有原因，因?yàn)檫@就是愛情。鋪位靠近宿舍門口的王二狗這么總結(jié)道，所以從這個(gè)方面說，他們兩個(gè)其實(shí)是幸運(yùn)的，他們很幸運(yùn)能遇到對(duì)方。要知道這個(gè)世上有多少癡男怨女，他們尋尋覓覓終其一生，都無法遇到唯一的彼此。即便結(jié)合在一起，又有多少能堅(jiān)定地?cái)y手走完這一生呢？

但是無論如何，要我說，老子最煩這種窮酸讀書人了。躺在宿舍里側(cè)的大兵哥補(bǔ)充道，這個(gè)什么佟小六，他就應(yīng)該在幽會(huì)的時(shí)候速速的將生米煮成熟飯。這樣一來，松老三氣歸氣，說不定最終就不會(huì)這么棒打鴛鴦了，可關(guān)鍵時(shí)刻這家伙還在那里掉書袋，滿嘴之乎者也的大傻叉，該！

2

大兵哥來自江浙一帶，那里的女孩溫婉綽約、恬靜動(dòng)人。而大兵哥好像也沒有一般意義上江浙男人的特點(diǎn)。他皮膚黝黑、一張國字臉，結(jié)實(shí)精干、全身肌肉若隱若現(xiàn)。他雙目迥然有神、說話鏗鏘有力，打籃球時(shí)也必定是投入全部氣力，抱著爭奪每一球每一分的態(tài)度。他總是給人一種精力無限、下一刻就可以干翻這個(gè)世界的感覺。

大兵哥的QQ簽名是“沒有耕壞的地，只有累死的?！?。當(dāng)時(shí)我們中的大部分并不知道這話到底是什么意思，我們都以為是大兵哥家里有很多很多的地，多到春耕秋收時(shí)要累死很多很多的牛。直到有一天，我暗戳戳百度了之后才隱隱明白了個(gè)大概；再到后來，當(dāng)我見過更多的故事之后，才體會(huì)到這句話的深刻內(nèi)涵，并不由得再次對(duì)大兵哥的超前覺悟感到由衷的佩服。

大兵哥經(jīng)常捧著一本厚厚的《資治通鑒》去圖書館，偶爾還會(huì)拎著曼昆的《宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》。在宿舍里他喜歡挺著胸脯義正言辭地跟我們說要“為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學(xué)，為萬世開太平”。除此之外，大兵哥還喜歡韓寒，他的書桌上常年擺放著幾本小說《三重門》《一座城池》《他的國》等等，并總是自詡為書里的男一號(hào)。有時(shí)為了模仿書中的男主角他偶爾還會(huì)刻意瘋狂、放誕不羈。他時(shí)不時(shí)會(huì)跟我們提及書里的一些話，比如“每個(gè)女人總能在別人心底留下一些東西”，“而我卻一直不能想明白什么能帶給我們安全感……你這個(gè)傻比，當(dāng)然是安全套能帶給我們安全感啦……”

大兵哥思維敏捷，對(duì)這個(gè)世界往往有獨(dú)到的見解，可以說，我從他那里學(xué)到了很多解構(gòu)問題、剖析事物本質(zhì)的方法，可是唯獨(dú)有一個(gè)事情我和他的看法大相徑庭。那時(shí)候不到20歲的大兵哥認(rèn)為，在一切兩性結(jié)合中，那些以愛情為基礎(chǔ)的婚姻是最令人沮喪的，因?yàn)榛橐龅哪康牟皇怯鋹倐€(gè)人，而只是延續(xù)物種的本能罷了。

我跟他說你只看到了人類這個(gè)本能所帶來的結(jié)果，然而你并沒有領(lǐng)略到這個(gè)本能給人類帶來的歡愉和進(jìn)步。當(dāng)兩顆相愛的心彼此依偎在一起，產(chǎn)生的力量足以戰(zhàn)勝世間任何艱難險(xiǎn)阻，是的，世間任何艱難險(xiǎn)阻。古往今來有多少不朽的文學(xué)杰作是頌揚(yáng)愛情的歡喜、愛情的憂愁，這一切，早已超越了自然界其他生物兩性繁殖延續(xù)后代的本能。

可是你要知道，大兵哥又說，當(dāng)一方在尋找配偶時(shí)，總會(huì)挑選那些能夠彌補(bǔ)自身缺陷的異性，因?yàn)樗麄兒ε伦约旱娜毕葸z傳給后代。所以愛情只是大自然設(shè)下的騙局，而在婚姻中，愛情會(huì)慢慢消逝，人類對(duì)愛情的幻想也會(huì)隨之煙消云散。只有哲學(xué)家才能在婚姻中感到快樂，但哲學(xué)家是不結(jié)婚的。何況，你必須要承認(rèn)，當(dāng)一個(gè)女人過了最適合生育年齡之后，她對(duì)異性的吸引力也會(huì)隨之減弱，所以說一切情愿供養(yǎng)妻子的男人都是傻瓜，女人只是文明的附屬品……

你這太扯了，我憤憤的說道，在我看來，女人不僅不是附屬品，相反還是一件藝術(shù)品，我們應(yīng)該報(bào)以純凈、虔誠的目光去看待，我們最好以一種發(fā)現(xiàn)、欣賞和愛護(hù)的心態(tài)去靠近去追求這樣的藝術(shù)品。因?yàn)楹茱@然，正是你眼中的文明的附屬品，才辛苦將你帶到這個(gè)世界上來……

可是被帶到這世上有什么好，人生而痛苦！大兵哥略顯激動(dòng)地回了一句，我看到他嘴角似乎抽搐了一下，于是這個(gè)話題我們不歡而散。

其實(shí)大家應(yīng)該都知道，大學(xué)里我們來自五湖四海，我們有著截然不同的人生閱歷，因?yàn)橐粓龈呖嫉暮Y選聚集在一起，混沌一片。我們明白對(duì)一件事情往往都會(huì)有自己的觀點(diǎn)，由此帶來的爭論總是難以避免。因此這之后我和大兵哥還是廝混在一起，一起打球，一起吹著口哨輕佻而又尊重地欣賞著過往的女孩。有時(shí)我會(huì)幫大家?guī)Х菰顼?，有時(shí)大兵哥又會(huì)踩著點(diǎn)去教室?guī)臀覀兒瀭€(gè)到。

我們基本很少去上課，因?yàn)榇髮W(xué)里大部分老師都只會(huì)照本宣科，對(duì)著一套不知道用了多少年的屁屁踢從頭念到尾。而大學(xué)的教材呢，很多的知識(shí)點(diǎn)也經(jīng)常寫得不清不楚，概念和過程都極其模糊，我有時(shí)甚至懷疑編寫教材的作者自己是不是壓根也沒弄懂，他們著書立說也許只是為了讓自己的履歷變得稍微好看一點(diǎn)，要不然為什么他們總是能把一個(gè)原本簡簡單單可可愛愛的公式描述得如此諱莫如深呢？

一天中午大兵哥從外面興致勃勃的沖回宿舍，手里拎著一堆七七八八的電容、天線和三極管等小零件，說是信號(hào)與系統(tǒng)課的老師布置了個(gè)作業(yè)，以寢室為單位自己做個(gè)可以使用的收音機(jī)。做好以后可以不用再去上課，期末GPA績點(diǎn)會(huì)給我們想要的分?jǐn)?shù)。我們興奮至極，心想這還不簡單嗎。我們經(jīng)常聽廣播里說FM96.6兆赫、AM927千赫，這下終于輪到我們大顯身手了。

我們清楚地知道，無線電廣播在傳輸信號(hào)時(shí)必須頻率足夠大才能夠進(jìn)行有效傳輸，比如廣播頻率多數(shù)是幾百千赫茲到幾百兆赫茲，中央人民廣播電臺(tái)經(jīng)濟(jì)之聲的頻率是FM96.6MHz，它表示每秒鐘電磁波會(huì)有九千六百六十萬個(gè)周期。但是我們說話的聲波頻率低的多，一般來說只有幾百赫茲到一兩千赫茲。因此如果要把漂亮女主播說的話變?yōu)殡娕_(tái)無線電信號(hào)就涉及到一個(gè)概念：調(diào)制——就好像寄快遞一樣，我們首先得把包含了有用信息的低頻信號(hào)與可以遠(yuǎn)距離傳輸?shù)母哳l信號(hào)一起打包在一起，如下。

接下來我們利用一個(gè)電容和一個(gè)電感構(gòu)成一個(gè)LC回路，這個(gè)LC回路形成一個(gè)振蕩器可以為我們產(chǎn)生振蕩的電磁場，電磁場通過電磁感應(yīng)再借助天線向外發(fā)射已經(jīng)調(diào)制好的廣播信號(hào)，如下左圖。

當(dāng)廣播信號(hào)到達(dá)收音機(jī)后，因?yàn)槭找魴C(jī)上也有天線，無線電信號(hào)遇到天線就會(huì)在上面激發(fā)起同樣規(guī)律的感應(yīng)電流，如上右圖。因?yàn)槭找魴C(jī)里由電容電感組成的LC回路也存在固有頻率，因此如果這個(gè)頻率與空間中的無線電頻率相同，就會(huì)產(chǎn)生電磁共振，此時(shí)天線上的感應(yīng)電流最大。

如果我們想收聽FM96.6，就把收音機(jī)的固有頻率調(diào)整到96.6MHz，此時(shí)電路中受到電臺(tái)經(jīng)濟(jì)之聲引起的感應(yīng)電流最大。而其他電臺(tái)信號(hào)雖然也在電路中有感應(yīng)電流，但是由于沒有共振，所以電流很小。調(diào)整收音機(jī)固有頻率的過程其實(shí)就是在調(diào)整收音機(jī)中的電容大小，這個(gè)過程稱為調(diào)諧，也就是我們通常所說的搜臺(tái)或者換臺(tái)。

當(dāng)然調(diào)諧之后還不夠，因?yàn)檎{(diào)諧之后的信號(hào)是低頻信號(hào)和高頻信號(hào)混合在一起的一個(gè)“快遞”，我們還要拆開高頻信號(hào)這個(gè)“包裝”或者載體，將包含女主播聲音信號(hào)的低頻信號(hào)分離過濾出來，這個(gè)過程就是解調(diào)，而這個(gè)分離過程需要用到的就是由一些二極管組成的檢波器或者說是解調(diào)器。

檢波器把高頻信號(hào)過濾掉，余下低頻信號(hào)，再把這個(gè)信號(hào)經(jīng)過放大，通入喇叭。喇叭中的線圈在磁鐵對(duì)電流作用力下前后振動(dòng)，帶動(dòng)發(fā)聲的膜片，于是我們就可以收聽到廣播的聲音了。

在以上過程中，調(diào)諧和解調(diào)兩個(gè)過程可以說最為重要，簡單來說調(diào)諧就是在混合了所有電臺(tái)信息的電波中挑選過濾出我們想要的高電臺(tái)頻率，比如經(jīng)濟(jì)之聲的96.6MHz；而解調(diào)則是進(jìn)一步將包含了有用聲音信號(hào)的低頻率電波從高頻信號(hào)中檢出來。

這個(gè)頻率被挑選過濾的過程如下圖所示?？罩须s亂無章包含很多電臺(tái)信號(hào)的電磁波經(jīng)過調(diào)諧后可能只包含幾個(gè)簡單的正弦或余弦波，頻率FM96.6的信號(hào)也屬于其中的一個(gè)。將這些正弦波的頻率作為橫坐標(biāo)，振蕩的幅值大小作為縱坐標(biāo)，就可以畫出原本疊加在一起的幾個(gè)信號(hào)的所謂“頻域圖”。經(jīng)過這么一番操作之后，本身亂哄哄毫無規(guī)律的時(shí)域信號(hào)就被整整齊齊的表示在頻域圖里了。而這個(gè)頻率挑選過濾的操作，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理即為傅里葉變換。

當(dāng)我們幾個(gè)把收音機(jī)搗騰出來后，除了收聽到了中央人民廣播電臺(tái)經(jīng)濟(jì)之聲外，意外還收到了一個(gè)“××之聲”的反動(dòng)電臺(tái)。也不知道是不是因?yàn)槲覀冏龀鰜淼氖找魴C(jī)性能太過優(yōu)異還是什么原因，總之我們經(jīng)常能收聽到一些諸如……之類的反動(dòng)節(jié)目。

（被和諧……）

3

狗哥祖籍新疆，三歲時(shí)跟隨父母南下廣東下海淘金，借著時(shí)代的洪流和勤懇的打拼，狗哥的父母很快就積攢到了幾輩子也花不完的錢。千禧年前后，狗哥父母又舉家遷到了內(nèi)蒙古呼倫貝爾大草原，在那里他們又承包了大片優(yōu)質(zhì)的天然牧場，據(jù)說現(xiàn)在的蒙牛乳業(yè)和狗哥家族還有一些道不盡的淵源。接下來的幾年里，狗哥又跟著家里的大姐去東三省做鹿茸和人參生意，跟著二姐去浙江舟山一帶倒騰水產(chǎn)養(yǎng)殖生意。他們甚至還在福建平潭建立過一支近海運(yùn)輸船隊(duì)，排水量五千多噸的散貨船滿載鋼筋、鵝卵石緩緩漂行在距離海岸線五十海里的地方，遠(yuǎn)方的燈塔一閃一閃的給他們指引著歸途。

所以狗哥在我們幾個(gè)中眼界最廣，涉獵也最為豐富。他的足跡遍布祖國的大江南北，但即便如此，狗哥仍然總是很憂郁。那時(shí)候有部電視劇《士兵突擊》引起萬人空巷，但是很少有人知道這部電視劇的編劇蘭小龍還有一部同樣經(jīng)典的小說和電視劇叫《我的團(tuán)長我的團(tuán)》。狗哥很喜歡小說里的孟煩了，他說煩了煩了，煩惱了卻。他也會(huì)偶爾念叨起書中孟煩了的父親經(jīng)常說的一句話：偌大的中國啊，卻容不下一張安靜的書桌。狗哥還將書里死啦死啦的一句話奉為圭臬：英國鬼說他們死于狹隘和傲慢，中國鬼說他們死于聽天由命和漫不經(jīng)心……你們死都不怕，就怕不安逸；命都不要，就要安逸。

我后來問狗哥為什么家纏萬貫還總是那么焦慮，狗哥說可能和他從小跟著父母走南闖北有關(guān)。因?yàn)樾r(shí)候總是飄泊在外，做生意的父母對(duì)他反而管控很嚴(yán)，要求也很高，容不得犯一點(diǎn)錯(cuò)。雖然去過很多地方，但其實(shí)很多時(shí)候他都沒辦法去想去的地方，也沒辦法做想做的事情，在他的內(nèi)心深處其實(shí)特別缺乏歸屬感和安全感。用他的話來說他是一個(gè)靈魂被壓抑的旅人，他的夢(mèng)想是自由與遠(yuǎn)方。高考之后之所以會(huì)選擇華中地區(qū)的高校，也是希望能夠離家人遠(yuǎn)一點(diǎn)。

不過雖然靈魂被壓抑，狗哥很早就在托?？荚囍锌嫉昧烁叻郑材軐懸皇制恋拿P字，他經(jīng)常會(huì)創(chuàng)作并抄寫幾句詩然后認(rèn)真地朗誦給我們聽。比如“愛情那么短/回憶卻那么長”，“你的眼里填滿了星河/當(dāng)我滿懷期待地奔向你/你卻借著黃昏隱沒/你總是如此”，再比如“孤獨(dú)的旅人啊/我還要遠(yuǎn)走/你還會(huì)想著我嗎/請(qǐng)?jiān)谖翌~上輕輕一吻/吻干我眼中孤冷的清淚/忘了吧，忘了我吧/遠(yuǎn)方的姑娘”。所以說，狗哥其實(shí)是一位憂郁的詩人，他經(jīng)常能吟得一手好詩。我總是認(rèn)為，“惟楚有才，于斯為盛”用在狗哥身上最為合適。

脫離了父母的管束之后，狗哥經(jīng)常會(huì)將頭發(fā)留長，或者梳一個(gè)大背頭，打扮成一個(gè)大人的模樣。當(dāng)我們幾個(gè)圍在一起捧著一個(gè)老式MP4觀看島國愛情動(dòng)作片學(xué)習(xí)一些奇奇怪怪的知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，狗哥則一般會(huì)扛著他的單反相機(jī)穿梭在東九樓和醉晚亭之間——他的電動(dòng)車后座上永遠(yuǎn)都坐著不同的美麗的女孩。

狗哥的乒乓球技術(shù)也已經(jīng)練得出神入化，后來有一次他居然還獲得了某房地產(chǎn)公司舉辦的首屆華中地區(qū)羽球爭霸賽業(yè)余組男子單打第一名。我時(shí)常會(huì)想，狗哥啊狗哥，你這靈魂到底是被壓抑了還是被升華了。如果這都叫作靈魂被壓抑的話，那我們的靈魂早已灰飛煙滅啦。

狗哥是個(gè)愛熱鬧也很仗義的人，當(dāng)他拿到一大筆比賽獎(jiǎng)金之后就請(qǐng)我們?nèi)ハ硎芰艘活D饕餮大餐。在這之前，其實(shí)我們大家的日子都過得緊巴巴的，狗哥雖然家里有錢，但自從讀大學(xué)之后就不向家里伸手了。當(dāng)時(shí)那筆獎(jiǎng)金有多大呢，大到多年以后我們要加班加點(diǎn)工作很長很長時(shí)間才抵得上。狗哥總是說他很后悔當(dāng)時(shí)贏得了那筆獎(jiǎng)金，因?yàn)檫@讓他誤以為賺錢是件很容易的事情，不過這已經(jīng)是后話了。

我們就著豐美鮮嫩的小龍蝦，盡情地喝著啤酒。我們肆意地插科打諢，我們揮霍著青春，釋放著蓬勃而又多余的荷爾蒙。那時(shí)候的我們都很窮，可我們卻很快樂。我們年輕氣盛熱血沸騰，我們對(duì)這個(gè)世界有自己的看法，我們熱衷于表達(dá)自己的觀點(diǎn)。我們嬉鬧，我們嘶吼，我們哭泣，我們熱淚盈眶，我們身處果殼之中，仍自以為是無限宇宙之王。

一天晚上狗哥略帶悲傷的跟我們說他深深地愛上了一個(gè)俄羅斯女孩。每天中午十二點(diǎn)女孩都會(huì)準(zhǔn)時(shí)到喻園餐廳挑一個(gè)靠窗的位置靜靜地坐下，溫和的暖陽映襯出她略顯蒼白的臉龐，接著她會(huì)點(diǎn)三個(gè)小籠包慢慢品嘗起來。她總是戴著一副白色的入耳式藍(lán)牙耳機(jī)，狗哥說她好像一直沉浸在音樂的世界里，他好幾次嘗試以不同的姿勢(shì)出現(xiàn)在她面前想跟她搭上話，可是都失敗了。狗哥說他覺得很挫敗，覺得自己一無是處。我們幾個(gè)只好陪以訕笑，很難說這是感同身受還是幸災(zāi)樂禍，畢竟才華出眾的狗哥上周還約了一個(gè)埃及女孩去吃了牛蛙……

我心里只是很感慨，愛情果然讓人變得卑微。愛情讓人失落、讓人感傷，愛情也令人心懷歡喜、充滿期待；愛情是那些午后的慢時(shí)光，陽光灑在她的臉上，而他，在癡癡的看著她。

我問狗哥是不是真的愛上她了，狗哥肯定的點(diǎn)點(diǎn)頭，我慍怒的跟狗哥說那你倒是上啊。狗哥垂頭喪氣耷拉著耳朵像個(gè)做錯(cuò)了事的小孩，嘴里嘟噥著，我好像配不上她呢，我應(yīng)該怎么做呀？我用腳尖點(diǎn)點(diǎn)被壓在椅子腳下的宣傳單，上面赫然印著“音為愛·夢(mèng)承載校園歌手大賽招募令”。狗哥滿臉狐疑：你要我去參加這個(gè)？也許你可以試試，我說，她不是一直沉浸在音樂的世界里嗎？也許你可以用這個(gè)叩開她內(nèi)心世界的大門?？墒俏也粫?huì)唱歌，狗哥落寞地說。不一定，我說，你嗓音其實(shí)很好，而且音域也廣，加上你在廣東待過……或許你可以試著唱首粵語歌，讓來自北國的她進(jìn)一步領(lǐng)略一下異域的嶺南風(fēng)情。狗哥立馬從他新潮的iPhone 4的音樂播放器里挑出了一首播放次數(shù)最多的粵語歌《愛的故事·上集》跟著哼了起來。我跟狗哥說唱出來聽聽，我來給你找段伴奏。

(這里其實(shí)也有段音頻……)

你們知道的，當(dāng)狗哥唱出這一段后我立刻就后悔給他出了這個(gè)主意，我的心靈受到了一萬點(diǎn)暴擊，從我自己的感官來講——真的是唱得太好聽了——要天天和這樣一個(gè)家財(cái)萬貫、見多識(shí)廣、舉止有度、干啥啥第一的天縱英才待在一起——你們能體會(huì)這種絕望嗎？

我把狗哥唱的這段《愛的故事·上集》鋪在了紙上。下面第一個(gè)圖是唱出來的原始信號(hào)，縱坐標(biāo)是聲壓大小，可以理解為這段聲音原始信號(hào)的振動(dòng)波幅值，橫坐標(biāo)是時(shí)間變化，該圖即為時(shí)域圖。這段聲音信號(hào)本質(zhì)上可過濾分解為無數(shù)多個(gè)正弦或余弦的振動(dòng)信號(hào)，它們有不同的頻率，可以通過（快速）傅里葉變換將這些信號(hào)單獨(dú)拎出來，以頻率為橫坐標(biāo)，畫在下面第二個(gè)圖中，即為頻域圖。第三個(gè)圖則是以顏色的深淺表示信號(hào)振動(dòng)的幅值大小，稱之為時(shí)頻圖，因?yàn)樗淖鴺?biāo)同時(shí)包含了時(shí)間和頻率。

這首歌好聽在哪里？在上面第二個(gè)圖中，如果從低頻率開始標(biāo)記頻率譜中的峰值，也就是突出的部分，可以得到如下表所示的7個(gè)頻率值，以豎列的數(shù)值除以橫排的數(shù)值，結(jié)果填在表格中?？梢钥吹奖碇袠?biāo)綠的6個(gè)結(jié)果接近于整數(shù)——這意味著這段聲音不同頻率之間產(chǎn)生了非常完美的共鳴關(guān)系，即一種以某些頻率的波為基準(zhǔn)，其他頻率的波完整的包含了這些基準(zhǔn)波頻率的整數(shù)倍的狀態(tài)。一般來講，一個(gè)優(yōu)秀的歌者，貫通身體的各個(gè)共鳴腔體，如口腔共鳴、鼻腔共鳴、胸腔共鳴等以產(chǎn)生和諧的共鳴是必須要掌握的基本技巧。

除此之外，上面表格中標(biāo)藍(lán)的結(jié)果表明這段聲音中592Hz&786Hz、692Hz&885Hz及786Hz&1042Hz的頻率存在3個(gè)3：4的比例關(guān)系，從音階的角度來講，這個(gè)比值意味著聲音中存在“哆（C1）-嗦（G1）-哆（C2）”的關(guān)系，即以一個(gè)元音為基礎(chǔ)，可以發(fā)出很悅耳的和音。也就是說，這是一個(gè)完美的嗓音唱出來的一段完美音樂。

我有點(diǎn)無精打采，悻悻地對(duì)狗哥說，用這首歌去參賽，你會(huì)贏。后來的結(jié)果我們都知道了，狗哥獲得了那屆“音為愛·夢(mèng)承載”校園歌手大賽的第二名。而那個(gè)俄羅斯女孩，從狗哥的第二場比賽開始就一直以應(yīng)援團(tuán)團(tuán)長的身份為狗哥打call。后來他們共譜了一曲愛的樂章，再后來，他們曲終人散。

那屆大賽決賽靠東南角的觀眾席上，有一個(gè)姑娘叫阿紫。后來我問阿紫，狗哥在臺(tái)上那么玉樹臨風(fēng)、英姿颯爽，你怎么沒有心動(dòng)呀。阿紫回答說，他粵語歌唱得那么好，梳個(gè)大背頭，我以為他是廣東人，我看網(wǎng)上有人說廣東人喜歡吃福建人，嚶嚶嚶……

4

像阿紫那樣的姑娘，我只見過兩個(gè)，第一個(gè)是在夢(mèng)中。

那天無意中看見阿紫是在大賽快要結(jié)束的時(shí)候——阿紫安靜地坐在那里，穿著一件白色九分袖無領(lǐng)亞麻襯衣，袖口整齊地挽在手肘上部，襯衣衣角錯(cuò)落有致地別在腰間。搭配一條深灰中腰珍珠百褶兩層紗半身裙，裙長隱約沒過她的腳踝。她的腳上穿著一雙平底低幫豆豆鞋，鞋子正面精致的系著兩朵蝴蝶結(jié)。她的左手手腕處戴著一條紅色的手繩，手繩正中間編織有一只活潑的小貓。一個(gè)帶有手工刺繡點(diǎn)綴著若干亮黑色珍珠的靛藍(lán)色發(fā)繩將她的頭發(fā)盤起來，左邊額角的一小束頭發(fā)卻又恰到好處的灑下來。

阿紫的皮膚很白，她的眼睛大大的，上睫毛長長的，這讓她眨眼的時(shí)候顯得更加靈動(dòng)。阿紫笑起來的時(shí)候兩個(gè)小酒窩就像平靜的貝加爾湖面上泛起的兩朵淺淺的漣漪，蕩漾在我的記憶里久久無法平息。阿紫有一只櫻桃小嘴，她托著下巴的樣子像極了《天下第一》里的柳生雪姬。很快我就發(fā)現(xiàn)，阿紫不僅面容與雪姬相似，她幾乎和雪姬一樣聰慧過人，琴棋書畫樣樣精通。那時(shí)候王菲在春晚上將一首《傳奇》唱得大紅大紫，因?yàn)榘⒆?，我瞬間就想到了那句歌詞：只是因?yàn)樵谌巳褐卸嗫戳四阋谎?，再也沒能忘掉你容顏。

那天其實(shí)剛剛下過雨，天氣涼爽、空氣清甜，半空中還彎著一輪光彩明艷的彩虹?？晌覅s分明感覺到自己耳根發(fā)燙、嗓子發(fā)干，我能清晰地聽到自己的心跳聲。我的思維好像已被凝固，周圍的一切仿佛全部安靜下來。我意識(shí)到自己的身體有一種酥麻乏力的感覺，就像是被一股電流擊中。我的大腦一片空白，那個(gè)瞬間猶如一千年那樣永恒，我呆呆定在那里，一時(shí)手足無措。我希望時(shí)光可以靜止，這樣阿紫就可以永遠(yuǎn)在我眼前停留；可我又希望時(shí)間可以快點(diǎn)流逝，這樣我就不用忍受這么近卻又那么遠(yuǎn)的煎熬。我被一種模糊而強(qiáng)烈的潛意識(shí)牽引著往阿紫的方向緩緩移動(dòng)，就像是一只爬行的蝸牛，笨拙又倔強(qiáng)。

我來到阿紫身邊的時(shí)候，正好輪到狗哥上臺(tái)，狗哥是作為男主角壓軸登場的——這意味著，留給我的時(shí)間不多了。阿紫似乎并沒有察覺到我的到來，她依舊托著下巴看著臺(tái)上的表演，我也只得假裝若無其事的看著臺(tái)上的狗哥。我被阿紫身上散發(fā)出來的香味包裹著，那種異乎尋常的清香與溫和舔舐著我的嗅覺細(xì)胞，多少安撫了一些我的心神不寧。那個(gè)時(shí)候我的眼神一定是空洞的，我在急速思考著應(yīng)該怎么和阿紫打個(gè)招呼，我在心里默念了無數(shù)種臺(tái)詞。

嘿，你……你知道彩虹是怎么形成的嗎？我?guī)缀趺摽诙?，卻又顯得結(jié)結(jié)巴巴。

阿紫微微側(cè)過身，我看到她臉色微紅，她先是錯(cuò)愕了兩秒，隨即莞爾一笑：怎么形成的呀？

語若流鶯聲似燕，燕語鶯聲怎畫成。阿紫說完這六個(gè)字后，首先浮現(xiàn)在我腦海里的是這句詞，阿紫的聲音宛如空谷幽蘭酥軟人心。

我不由得舔舔嘴唇：彩虹實(shí)際上是太陽光的一種色散現(xiàn)象——色散你應(yīng)該知道是什么意思吧？

阿紫抿著嘴，嘴角微微上揚(yáng)地點(diǎn)了點(diǎn)頭。

我輕輕舒了口氣：太陽光俗稱白光，雖然看起來沒有顏色，但實(shí)際上里面包含了無數(shù)種顏色的光，之所以顏色各異是因?yàn)檫@些光的頻率都是互不相同的。下雨后空氣中存在大量的小水珠，水珠對(duì)光有色散作用，類似于一個(gè)三菱鏡。就是說不同頻率的光在穿過水珠時(shí)會(huì)沿著不同的路徑折射出來，于是太陽光里面的五顏六色的光就被一層層的有秩序的挑選分離出來啦，這個(gè)過程相當(dāng)于做了一次傅里葉變換——關(guān)于傅里葉變換，可能需要更多的時(shí)間才能講清……同時(shí)呢，為了簡便和考慮到我們眼睛的分辨能力，我們一般只說彩虹的顏色是紅橙黃綠藍(lán)靛紫。

嗯吶，阿紫歡快地說，可是為什么紅光是在最上面誒？因?yàn)榧t光在水珠中的折射率最小，紫光的折射率最大。我用手在阿紫面前比劃起來，所以紅光穿過水珠時(shí)往下偏轉(zhuǎn)的角度最小，于是它就在最上面啦。

好美好神奇呀，阿紫說，其實(shí)我特別喜歡對(duì)著彩虹發(fā)呆，還有我好喜歡周杰倫的那首《彩虹》哦……咦，你就是來跟我說這個(gè)的嘛。

我突然再次變得局促起來——不是啦，那個(gè)……周杰倫的《花?！芬埠芎寐牎O，不是……我暗暗吸了口氣，隨即掏出手機(jī)，對(duì)阿紫說道：我可以留下你的號(hào)碼嗎？

阿紫面色紅潤低頭不語，她從我微微發(fā)抖的手里接過我的手機(jī)撥通了她的電話，她的鈴聲響起的那一刻，狗哥的演唱恰好到了副歌部分：

知不知對(duì)你牽上萬縷愛意

每晚也痛心空費(fèi)盡心思

這小子欲斷難斷這故事

全為愛上了你偏偏你不知

知不知每晚想你十次百次

每晚也去等因我極心癡

可不可合力延續(xù)這故事

延續(xù)這片愛意一生倆相依

------------------

什么是傅里葉分析（中）——一顆藍(lán)心

皎潔青衣，無疑你是故事里的主角，

我不知道，你是否知道我在想你；

就像我不知道，你的心鎖為誰留下了空缺，

我只好將綿延的留戀寫在紙上，藏入心底。

1

后來我經(jīng)常會(huì)和阿紫在東湖的綠道上徜徉，阿紫喜歡將手背在身后歪著腦袋蹦蹦跳跳地倒退著走。阿紫告訴我她最喜歡的城市是廈門，她說第一次到那里的時(shí)候就被明媚清新的陽光和繾綣舒展的銀海灘所吸引。她喜歡傍晚的時(shí)候踏著路邊榕樹的碎影，在環(huán)島路上走走停停，或者去椰風(fēng)寨買一個(gè)新鮮的椰子，又或者是去到曾厝垵點(diǎn)一份海鮮面。

阿紫說老了以后想去鄉(xiāng)下，安靜地待在一顆老樹下自由自在地寫字畫畫，那是她夢(mèng)里希翼的景色，陌上花開，倦鳥遲歸。每次阿紫走在前面抿著嘴說說笑笑的時(shí)候，我都會(huì)有種“嫻靜猶如花照水，行動(dòng)好比風(fēng)拂柳。眼前分明外來客，心底恰似舊時(shí)友”的感覺。

阿紫以后也想去劍橋三一學(xué)院的法律專業(yè)繼續(xù)深造，她說這樣就可以為亞非拉世界眾多貧苦的人們免費(fèi)提供各類法律援助。雖然這是一項(xiàng)偉大的事業(yè)，但我的心底卻總是會(huì)產(chǎn)生一種深深的無力感。那個(gè)時(shí)候的我將自己包裹在果殼之中，躲在一個(gè)狹小的世界里沾沾自喜，因此當(dāng)阿紫說出她的心愿的時(shí)候，我只覺得于我而言她仿佛只是一道白月光，可望卻不可即。

我時(shí)常跟狗哥說我很痛苦，因?yàn)槲矣X得在阿紫面前什么都不是；明明這樣一份美好就在眼前，可我卻不配擁有。那個(gè)時(shí)候狗哥和那個(gè)俄羅斯女孩分開不久，所以狗哥又總是會(huì)反過來頹然地跟我說，其實(shí)最痛苦的不是無法擁有——人世間最痛苦的事，莫過于曾經(jīng)擁有卻不曾好好珍惜，等到失去時(shí)才追悔莫及。我只好默然。狗哥又說，當(dāng)初你幫我出主意去參加校園歌手大賽，現(xiàn)在我只想說，我相信你自己也有辦法的……

2

一天下課后，我興沖沖地告訴阿紫說要給她看個(gè)東西，阿紫歪著腦袋滿臉狐疑。吶，就是這個(gè)。我說。

——噗，這是什么呀？

——這個(gè)函數(shù)很神奇誒，當(dāng)它的表達(dá)式里a=1時(shí)，它的圖像是上面這個(gè)樣子。但是當(dāng)a的值發(fā)生變化時(shí)，這個(gè)圖像就會(huì)產(chǎn)生很有趣的變化。比如a=3和a=5的時(shí)候，它的圖像分別是下面這個(gè)樣子的……

——咦，我好像看出來一點(diǎn)什么啦。

——嗯啦，當(dāng)a的值連續(xù)變化時(shí)就是下面這個(gè)樣子啦……

——哇，好神奇嗷，居然還有這樣的函數(shù)耶。

——嗯哪，其實(shí)像這樣的函數(shù)看起來很復(fù)雜，不過我們可以用泰勒級(jí)數(shù)把它展開成很多個(gè)多項(xiàng)式相加的形式，當(dāng)然也可以通過傅里葉分析的方法將它變換成很多個(gè)正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）線性相加的無窮級(jí)數(shù)，就是說可以變換成一系列簡單、特征明顯、易于分析的子函數(shù)相加的形式。

——怎么變換哦？

——這個(gè)圖里的函數(shù)其實(shí)是一個(gè)非周期函數(shù)，由簡入難的話，我們可以先看周期函數(shù)是怎么計(jì)算得到它的傅里葉級(jí)數(shù)的。

（1）把一個(gè)周期函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)

法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模?/p>

如果有一個(gè)周期T=2π的函數(shù)f(x)，即f(x)=f(x+2π)，可以把它展成一系列三角函數(shù)加和的形式，此即為傅里葉級(jí)數(shù)，如下

（2）三角函數(shù)的正交性

三角函數(shù)的正交性是整個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)或者進(jìn)行傅里葉變換的核心，也是收音機(jī)（或者其他實(shí)際應(yīng)用）原理中檢波和濾波的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

現(xiàn)在有這樣一個(gè)三角函數(shù)系的集合，包含的元素有{0，1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，……，sinnx，cosnx}（其中0即為sin0x，1即為cos0x）。在其中任意取兩個(gè)不同的項(xiàng)相乘并在一個(gè)周期內(nèi)積分，則有

也就是說，兩個(gè)函數(shù)正交的時(shí)候，其函數(shù)的內(nèi)積等于0，反之亦然。在這里我們以上面第二式為例簡單證明一下兩個(gè)三角函數(shù)的正交性，即證明其內(nèi)積為0。根據(jù)三角函數(shù)積化和差的性質(zhì)有

因?yàn)閚、k為互不相等的正整數(shù)，且cos2π=cos0=1，因此很容易知道上式結(jié)果即為0。同理可求得另外兩式相乘的內(nèi)積也等于0，即得證三角函數(shù)的正交性。

而當(dāng)n=k時(shí)，

同理，當(dāng)n=k時(shí)，

（3）求傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

如下是傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)形式，其中包含三類系數(shù)a0、an、bn，可以借助三角函數(shù)的正交性來求解這三類系數(shù)。

為了求系數(shù)a0，在周期2π內(nèi)，可以針對(duì)以上傅里葉級(jí)數(shù)兩邊同時(shí)積分，即

根據(jù)三角函數(shù)正交性可知上式右邊第2、3項(xiàng)均為0，即

從而可得系數(shù)

接下來為了求系數(shù)an，在以上傅里葉級(jí)數(shù)兩邊乘以coskx，并在周期2π內(nèi)積分，即

根據(jù)以上三角函數(shù)的正交性，當(dāng)n≠k時(shí)，上式右邊3項(xiàng)均為0；當(dāng)n=k時(shí)，上式右邊第1、3項(xiàng)均為0，第2項(xiàng)也只剩下n=k項(xiàng)，即

從而求得系數(shù)

同理在以上傅里葉級(jí)數(shù)兩邊同時(shí)乘以sinkx，并在周期2π內(nèi)積分，可求得系數(shù)

根據(jù)以上推導(dǎo)，可以進(jìn)一步將a0統(tǒng)一成如an、bn的形式。也就是說，對(duì)于一個(gè)周期T=2π的周期函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)形式可以寫成

其中

——嘻嘻，這樣子看下來還是很簡單的嘛，不過我有個(gè)問題哦，你這里推導(dǎo)的是周期為2π的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，可是如果周期為其他值呢？

——周期為其他值，比如T=2L（L為任意數(shù)值）的函數(shù)其傅里葉級(jí)數(shù)也很容易求得哦。

（4）周期為2L的傅里葉級(jí)數(shù)展開

假設(shè)有一個(gè)周期T=2L的函數(shù)f(t)，即f(t)=f(t+2L)，我們可以利用換元的思想，令

顯然，x與t之間存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系

且有

因此g(x)轉(zhuǎn)換成了周期T=2π的函數(shù)，根據(jù)以上結(jié)論，可直接寫出函數(shù)g(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式為

其中

將以上表格相應(yīng)內(nèi)容代入上述g(x)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式中，即有

以上就是周期T=2L的函數(shù)其傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式啦。而在我們的實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，一般引入一個(gè)角頻率ω的概念，即

從而可以得到更為一般的周期為T的函數(shù)其傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)形式，如下

3

講到這里，我不禁啞然失笑，我突然意識(shí)到自己只是為了給阿紫展示那個(gè)心型曲線，結(jié)果卻自作聰明一路瞎扯了這么多奇奇怪怪的東西。我訕訕地對(duì)阿紫表示歉意，阿紫捂著嘴活潑地說，沒關(guān)系呀，其實(shí)聽你講這些我覺得還蠻好玩的；順便告訴你哦，今天是我十八歲生日，我覺得今晚的月色好美呀。

那一瞬間我有些恍惚，阿紫在月光下雀躍的樣子不由得讓我想起了《洛神賦》里神女的模樣：體迅飛鳧，飄忽若神。轉(zhuǎn)眄流精，光潤玉顏。含辭未吐，氣若幽蘭。髣髴兮若輕云之蔽月，飄飖兮若流風(fēng)之回雪。

我跟上阿紫的步伐，有些赧然地說，我不知道今天是你生日誒，沒有提前給你準(zhǔn)備禮物哦，不過……諾，這是剛從路邊摘的一朵梔子花，把它送給純凈而美麗的你，愿你往后的歲月充滿喜悅與期待。也希望等你以后回想起來，不會(huì)覺得十八歲的今天只是平淡的一天。誒，對(duì)了，有一首詩在心里很久了，正好今天也送給你呀。我從背包里拿出紙筆，給阿紫寫了一首拙劣的十四行詩：

-怎么能夠只把你比作四月天，

-你遠(yuǎn)比它可愛也比它溫婉；

-晚櫻爛漫如你，充盈了我的雙眼，

-東湖上的西子唷，目光及你時(shí)我是如此心安。

-皎潔青衣，無疑你是故事里的主角，

-我不知道，你是否知道我在想你；

-就像我不知道，你的心鎖為誰留下了空缺，

-我只好將綿延的留戀寫在紙上，藏入心底。

-紫女的心事啊，猶如一首迷人絢麗的詩，

-譜出幽怨的、動(dòng)人的歌；

-琳瑯華美的樂章，詠不完琴瑟相思，

-嘆不盡悲歡離合。

-少女的征途，

-是星辰大海，而非人間煙塵。

初夏的月夜，晚風(fēng)拂過，空氣里彌漫著梔子花的香味，仿佛在阿紫周圍氤氳出一個(gè)個(gè)溫柔而又明亮的粉色氣泡。阿紫雙手緊捏低垂著頭，靜靜站在那里，我似乎看到她的眼里泛著一絲淚光。我看著阿紫，反而有點(diǎn)不知所措起來，于是只得傻乎乎的開始沒話找話。

我扮了個(gè)鬼臉，故作輕松地問阿紫，那次校園歌手大賽上沒有嚇到你吧？阿紫噗哧一笑：笨蛋，沒有啦，其實(shí)從那屆大賽的第一場比賽開始我就注意到你了……而且，我知道彩虹是怎么形成的哦。接著阿紫用粵語哼起了Beyond的《冷雨夜》：冷雨夜我在你身邊，盼望你會(huì)知/冷雨夜我不想歸家，怕望你背影/冷雨夜我在你身邊，盼望你會(huì)知……

阿紫兩腮通紅，她眨著雙眼，似乎在等待著什么。我的思緒再次停滯，就像那屆大賽上第一次看見阿紫一樣。一股暖流從我的心房逐漸蔓延、滲透，觸及我身體里的每一個(gè)細(xì)胞。心猿意馬的我仿佛籠罩在一種五顏六色的光彩之中，迷戀又眩暈。

哈哈，我就知道當(dāng)時(shí)自己的表現(xiàn)是很棒的，我可是想了好久才想出那一招的。我略帶驕傲地說。

嗷……阿紫眼神似乎有些黯淡，她沉默著往前走去。

第二天其實(shí)是我二十一歲生日，那一年我二十一歲，在我一生的黃金時(shí)代。我有好多奢望，我想愛，想吃，想奔跑，想見她，我還想變成天上忽明忽暗的云。那樣的日子，我曾以為是過不完的，未來是會(huì)不一樣的。

后來我逐漸明白，生活是個(gè)緩慢受錘的過程，可是我二十一歲時(shí)沒有預(yù)見到這一點(diǎn)。我覺得自己會(huì)永遠(yuǎn)生猛下去，什么也錘不了我。——多年以后，我就待在自己的未來里，我沒有發(fā)現(xiàn)自己有什么真正的變化。我的夢(mèng)想還像小時(shí)候一樣遙遠(yuǎn)，唯一不同的是我已經(jīng)不打算實(shí)現(xiàn)它了。（以上兩段致敬王小波）

多年以后，我才恍然大悟?yàn)槭裁丛陴嵡缋实脑乱拱⒆蠒?huì)哼起《冷雨夜》。多年以后，我才為自己的傲慢、愚蠢與怯弱痛心疾首。多年以后，我的思緒飄散在眼前那片梔子花的香氣里，遙遠(yuǎn)的人兒，是否還曾記得那朵梔子花？

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什么是傅里葉分析（中）——傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式

大千世界就像一臺(tái)皮影戲，傅里葉級(jí)數(shù)里那些疊加、旋轉(zhuǎn)的圓，猶如戲臺(tái)上幕布后無數(shù)永不停歇的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的齒輪。最外面的小齒輪上仿佛牽引著一根線，線的另一端就是我們，我們被牽引著往前走。

1

傅里葉級(jí)數(shù)的圖形

我們已經(jīng)知道任意周期為T的函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)形式如下，即我們可以用一連串的正弦波（或余弦波）去表示任意周期函數(shù)。

比如有一個(gè)如下的方波信號(hào)或函數(shù)

其傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為

于是便得到角頻率ω為1、3、5……的正弦函數(shù)（實(shí)際上要完整表述該函數(shù)，還需要考慮其相位角，本文均按下不表），以頻率為橫坐標(biāo)，幅值為縱坐標(biāo)，此時(shí)便可將時(shí)域上的原方波信號(hào)轉(zhuǎn)換成頻域上的信號(hào)，如下

將該方波函數(shù)的原時(shí)域圖像及其頻域圖像畫在一個(gè)圖中，如下，可以更加清晰的看到原函數(shù)是如何轉(zhuǎn)換或分解為不同頻率、不同振幅的正弦函數(shù)的。

類似的，如下周期性的鋸齒波函數(shù)

其傅里葉級(jí)數(shù)可以表示為

該鋸齒波函數(shù)及其傅里葉級(jí)數(shù)的圖形如下，可以看到，隨著傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加，傅里葉級(jí)數(shù)的圖形將會(huì)無限趨近于原函數(shù)。

2

傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式

實(shí)際上，可以看出，在傅里葉級(jí)數(shù)中，既有正弦函數(shù)，也包含余弦函數(shù)，畫頻域圖時(shí)也不方便，而通過歐拉公式，可以將傅里葉級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)形式。

根據(jù)歐拉公式

有

將以上兩式代入傅里葉級(jí)數(shù)，可得

上式第三項(xiàng)中，令n=-m，則有

令

其中

將傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)a0、an、bn代入到上式，可知n=0時(shí)

n>0

n<0時(shí)

因此，綜合以上，可知周期為T的函數(shù)，其復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

3

疊加！疊加！

從我們之前介紹過的歐拉公式可以知道，歐拉公式中eit實(shí)際上表示復(fù)數(shù)平面上沿著單位圓的旋轉(zhuǎn)。

顯然，正弦函數(shù)sin為該復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分，而余弦函數(shù)cos為該復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分，如下圖所示。結(jié)合圖形可知，傅里葉級(jí)數(shù)中的正弦、余弦函數(shù)實(shí)際上也可以理解為一種“旋轉(zhuǎn)”。

因此通俗地理解，可以把傅立葉級(jí)數(shù)視作圓周運(yùn)動(dòng)的組合，比如上面的方波函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)中正弦函數(shù)的疊加可以表示成如下形式。

實(shí)際上，任意函數(shù)都可以表示成不同正弦或余弦函數(shù)的疊加（以上都是針對(duì)周期函數(shù)的傅里葉分析，針對(duì)非周期函數(shù)的傅里葉變換將在后面介紹）。比如如下類似“心電圖”的函數(shù)，可由11個(gè)正弦波疊加而來。

再比如從地球上觀察到的火星運(yùn)行的軌跡如下

該曲線也可以通過兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)來疊加模擬

4

傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用

前面對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)以及圖形做了較多的展示，那將一個(gè)函數(shù)做傅里葉級(jí)數(shù)展開到底有什么用處呢？比如在我們之前提到收音機(jī)的檢波功能，實(shí)際上就是在原函數(shù)信號(hào)的基礎(chǔ)上乘以三角正交基函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的正交性，提取出相應(yīng)的正、余弦函數(shù)，并對(duì)這些函數(shù)展開相關(guān)分析或研究。

也可以借助傅里葉級(jí)數(shù)的方式對(duì)某些信號(hào)進(jìn)行“濾波”，比如有一個(gè)函數(shù)（信號(hào)）通過傅里葉級(jí)數(shù)展開后函數(shù)形式為cosx+0.1cos10x+0.1cos100x，其圖形如下

可以看出，由于函數(shù)中存在第2、3項(xiàng)，其頻率較高，因此在圖形中就存在“毛刺”，為了過濾或消除掉這些“毛刺”的影響，只考慮該函數(shù)的主要特征，可以首先對(duì)該函數(shù)積分得到函數(shù)sinx+0.01sin10x+0.001sin100x，該函數(shù)圖形如下

從上圖中可以看出，當(dāng)原函數(shù)信號(hào)經(jīng)過一次積分后，由于第2、3項(xiàng)高頻信號(hào)的系數(shù)也即振幅被大大縮小，因此原信號(hào)中存在的“毛刺”幾乎被過濾掉。如果進(jìn)一步對(duì)上述函數(shù)積分，則可得-cosx-0.001cos10x-0.00001cos100x，其圖形為

可以看到，由于積分的特性使得高頻信號(hào)的振幅被進(jìn)一步縮小，也就是說信號(hào)的“毛刺”被進(jìn)一步抹平，最終就可以得到原始信號(hào)的最主體特征，這也是“低通濾波”的數(shù)學(xué)原理——通過積分的方式縮小高頻信號(hào)的幅值，最終只留下低頻信號(hào)。

不知道看到這里大家有沒有感覺到，傅里葉分析中的濾波和檢波實(shí)際上就是一個(gè)“過濾”和“挑選”的過程，我們每個(gè)人像是被挑選著來到這個(gè)世界，我們的一生都在被挑剔、被賦予使命。每一次考試，每一次插科打諢，每追一部劇，每逛一次街，每談一次戀愛……，實(shí)際上都是我們?cè)谮ぺぶ袥Q定了自己的幸福、歡喜與悲傷，猶如一次次傅里葉分析，我們被篩選到了截然不同的軌跡上。

世界就像一臺(tái)皮影戲里的大幕布，傅里葉級(jí)數(shù)里那些疊加、旋轉(zhuǎn)的圓，猶如戲臺(tái)上幕布后無數(shù)永不停歇的齒輪，大齒輪帶動(dòng)小齒輪，小齒輪再帶動(dòng)更小的齒輪。最外面的小齒輪上仿佛牽引著一根線，線的另一端就是我們，我們被牽引著往前走。我們的腳步會(huì)走出一條條曲線，會(huì)經(jīng)歷許許多多低谷與波峰，有時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)眼前一片坦途，有時(shí)候又覺得雜亂無序。然而我們每個(gè)人都被牽引著走向同一個(gè)終點(diǎn)，而牽引我們往前走的東西，也許就是宿命罷。

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什么是傅里葉分析（下）——一個(gè)女人

我曾經(jīng)跨過山和大海，也穿過人山人海，我曾經(jīng)擁有著一切，轉(zhuǎn)眼都飄散如煙，我曾經(jīng)失落失望失掉所有方向，直到看見平凡才是唯一的答案。——《平凡之路》

1

大學(xué)畢業(yè)后洋仔去了川渝一帶，這家伙如同大學(xué)時(shí)一樣，面對(duì)任何事情時(shí)都能以一種“承受所有赤裸的真相、平靜地正視任何境況”的心態(tài)，所以他總是能體驗(yàn)到許多至上的美好。后來洋仔在重慶的一座山莊里開辟了一個(gè)大大的生豬養(yǎng)殖基地，借助人性的管理手段、科學(xué)的養(yǎng)殖方式以及最近幾年爆發(fā)的市場行情，洋仔迅速積累了大量的財(cái)富。

于是閑暇時(shí)他總是會(huì)寫寫畫畫，不僅正在籌備一本據(jù)說主題是非主流葬愛風(fēng)格的小說的出版，而且也習(xí)得了一手細(xì)膩的油畫繪畫手藝。當(dāng)他將最近的作品發(fā)給我康康時(shí)，老實(shí)說，我想成為他啦

狗哥則堅(jiān)決拒絕了家里人要他回家繼承家業(yè)的夙愿，大學(xué)畢業(yè)后如愿保送去了清華大學(xué)攻讀黑洞與高能天體物理專業(yè)的博士學(xué)位。我想對(duì)于向往自由與遠(yuǎn)方的狗哥來說，沒有什么比探索宇宙更值得全情投入的了。

有一次我問狗哥，研究天體物理的話，明明可以去美國，可是為什么要選擇待在北京呢。

狗哥告訴我說，二十幾年來他一直在和父母作抗?fàn)帲x大學(xué)時(shí)也在拼命遠(yuǎn)離自己的家族。可每當(dāng)他凝望廣袤的星空時(shí)，他總能變得異常寧靜，他意識(shí)到距離上的逃避從來都無法讓自己真正解脫。而且，當(dāng)他有一次突然發(fā)現(xiàn)父母的白發(fā)越來越多時(shí)，他的心里已經(jīng)有了答案。

狗哥臨去北京時(shí)，送了一套劉慈欣的《三體》給我，在扉頁上他用小楷工整地寫了一段話：宇宙其實(shí)是一個(gè)很抽象的東西，一邊連著無限久的過去，另一邊也連著無窮遠(yuǎn)的未來，我們只是一些可以忽略不計(jì)的塵埃?？杉幢闳绱?，我仍然想竭盡全力去探尋宇宙的真諦，即使需要燃盡我的生命?！旰?，我要成為中國科學(xué)院院士，而你，我希望會(huì)出現(xiàn)在中國工程院的院士名錄里。

2

從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

狗哥的話讓我落寞又感傷，對(duì)于資質(zhì)平平的自己來說，也許在追逐的路上便已枯竭了生命。

只是狗哥的話又啟迪了我，解開了我一直以來的一個(gè)疑問——當(dāng)一個(gè)函數(shù)為非周期函數(shù)時(shí)，可以等效認(rèn)為該函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處重復(fù)出現(xiàn)，即可認(rèn)為它是一個(gè)周期趨向于無窮大（T→∞）的周期函數(shù)，于是便可以輕易獲得這個(gè)非周期函數(shù)的傅里葉變換形式了。

之前我們已經(jīng)獲得了如下形式的傅里葉級(jí)數(shù)，所有周期函數(shù)其標(biāo)藍(lán)部分都是一樣的，不同的是標(biāo)紅的系數(shù)部分。也就是說，不同的系數(shù)Cn（=a+bi的復(fù)數(shù)形式）定義和決定了不同的函數(shù)。

以上是周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開，當(dāng)一個(gè)函數(shù)為非周期函數(shù)時(shí)，可以等效認(rèn)為該函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處重復(fù)出現(xiàn)，即其周期T→∞。

令

其中ω為周期T的倒數(shù)乘以2π，為頻率的概念，稱之為基頻率。

于是便有

當(dāng)T→∞時(shí)，有

將以上三式代入傅里葉級(jí)數(shù)，則有

于是可得非周期函數(shù)的傅里葉變換為

傅里葉逆變換為

3

阿紫從劍橋三一學(xué)院畢業(yè)后去了巴黎聯(lián)合國教科文組織的總部實(shí)習(xí)，雖然與她的初衷要為亞非拉地區(qū)的人們提供法律援助有所出入，但當(dāng)她看到同樣可以為這些國家的孩子制定長期有效的教育發(fā)展計(jì)劃并落地執(zhí)行時(shí)，她收獲了無限的安寧。

有一次我問阿紫實(shí)習(xí)結(jié)束后是否會(huì)回國內(nèi)時(shí)，阿紫只是說，每當(dāng)她踏上津巴布韋和利比里亞那些國家的土地時(shí)，她似乎都可以感覺到自己的脈搏在隨著那里的熱浪起伏。那里的土地古老、滄桑卻又刻滿了傷痕。生活在那片土地上的人們，承受了太多的苦難，他們被命運(yùn)捉弄，被歷史遺棄，直到現(xiàn)在他們只剩下無力與絕望。每當(dāng)她看到那些黝黑枯瘦的孩子用蒼白、渴望、充滿好奇的眼神看著她們這些異樣的外來客時(shí)，她明白了自己的歸宿以及存在的價(jià)值。

Ins上阿紫分享的與孩子們嬉鬧的照片中，除了他們的歡聲笑語，分明也能看到阿紫臉上的憔悴與那該死的魚尾紋。阿紫的抉擇雖然是堅(jiān)定的，我想她也是疲憊而孤獨(dú)的。

狗哥曾經(jīng)說過，冥王星Pluto離太陽很遙遠(yuǎn)，幾乎沒有陽光能穿越59億公里的距離找到它。但它的衛(wèi)星卡戎Charon，卻一直陪著冥王星走著這一段冷清卻又熾烈的旅程?！Ｔ该恳粋€(gè)孤獨(dú)的Pluto，都會(huì)有一個(gè)堅(jiān)定的Charon相隨。

所以故事的開始總是這樣，適逢其會(huì)，猝不及防；而故事的結(jié)局也注定是，花開兩朵，天各一方。

有人說，我們一生中會(huì)遇到8263563人，會(huì)和其中的39778人打招呼，會(huì)和3619人相識(shí)，會(huì)和275人相近，但最終我們都會(huì)消散在人海中。我們就像是一朵朵被風(fēng)裹挾著的花，飄曳在花海里隨機(jī)和另一朵相遇、糾纏，卻無法捆綁在一起。

當(dāng)花瓣飄落地平線的時(shí)候，我們終將離去，再漫長的歡聚也有盡頭，世上從來不曾有不散的溫柔。很久以后，我終于明白，失去比擁有更珍貴，對(duì)一個(gè)人最永恒的思念是忘卻。

4

大兵哥畢業(yè)后去了華東地區(qū)，輾轉(zhuǎn)了好幾個(gè)地方之后在上海五角場一帶開了一家主營東南亞水果的小店。三年前一次我去那里溜達(dá)問他生意如何時(shí)，這家伙賤兮兮的指了指旁邊一個(gè)富麗堂皇的大廳說，那其實(shí)是個(gè)風(fēng)月場，每天凌晨我們這里的水果生意都很好，我去上面送過幾次貨，里面可真香啊。說完一臉涎笑的給我剝了兩個(gè)龍功果。

在那之后我們的聯(lián)系便逐漸少了起來，我們都在為自己的未來而忙碌奔波。后來的一天凌晨，睡夢(mèng)中的我接到了大兵哥的電話，我聽出大兵哥深沉的嗓音中略帶疲憊。

——你記得當(dāng)時(shí)我們?cè)趯W(xué)校的一次爭論嗎？我說女人只是文明的附屬品，愿意供養(yǎng)妻子的男人都是傻瓜。大兵哥一開口就問我。——嗯，怎么了兄弟？——我也是一個(gè)徹頭徹尾的大傻子，我遇到了這樣一個(gè)女人，想竭盡全力去給她幸福，但我卻還無法做到……說完大兵哥開始輕聲啜泣起來?！易鳇c(diǎn)什么嗎？在我眼里，你可是能干翻這個(gè)世界的男人啊，哭個(gè)屁?！闩阄伊牧木秃谩蟊缯f。

接下來我從大兵哥的講述里了解到他在當(dāng)年那個(gè)水果店旁的風(fēng)月場里認(rèn)識(shí)了那個(gè)他愿意為其付出生命的女人。大兵哥說她單純又性感，他喜歡她嘰嘰喳喳在他旁邊擺弄這個(gè)擺弄那個(gè)的樣子。有一次為了她還和場所里的幾個(gè)買春客打過架斗過毆，為此左腿受傷骨折很久之后還沒有完全恢復(fù)。他想帶她離開上海，可是做生意時(shí)資金鏈又出現(xiàn)問題，個(gè)人賬戶也被法院強(qiáng)制凍結(jié)，后來又試著去送過外賣，擺過地?cái)偂?/p>

——嗐，不說這些。大兵哥又說，你應(yīng)該還記得我們以前一起學(xué)過的傅里葉分析吧？——很慚愧，忘得差不多了……——在她陪我養(yǎng)傷的那段時(shí)間，我琢磨出了傅里葉分析的一個(gè)妙處，我發(fā)現(xiàn)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開的方式把她的樣子畫出來。諾，給你看看，這是1500個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)疊加在一起把她畫出來的樣子……

——我靠，這也太美啦！我說?！?，技術(shù)有限，現(xiàn)在只能畫成這個(gè)樣子咯?！v真，她值得你這樣嗎？我問大兵哥?！?dāng)然，人間自是有情癡，此恨無關(guān)風(fēng)與月。大兵哥斬釘截鐵地說，不過，你是不是也會(huì)覺得我很沒出息……——怎么可能會(huì)！——為什么不呢……——因?yàn)槟闶俏倚值堋?/p>

我的心里很感慨，當(dāng)年廝混在一起的我們，如今已走上完全不同的人生軌跡。有的人已千里赴約飛躍雪山之巔，摭拾與品味著人間更高維度的煙火；有的人卻慌慌張張不過圖碎銀幾兩，可偏偏這碎銀幾兩啊，能解其萬千慌張。也許每個(gè)人傅里葉級(jí)數(shù)里的圓，有多有少，有大有小，演化出來的那條線，牽引我們奔向前方，雖是殊途，卻終究也會(huì)是同一個(gè)終點(diǎn)。

掛斷電話后不久，大兵哥給我發(fā)了一條消息：趁著年輕生猛，我要再和生活死磕幾年，要么鑄就輝煌，要么我就毀滅，如果哪天我向平庸低了頭，請(qǐng)向我開炮。

我安然入睡。

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-全文完-

【Reference】

[1]徐科軍.信號(hào)分析與處理

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)·下冊(cè)（第7版）

[3]楊小遠(yuǎn).工科數(shù)學(xué)分析教程

[4]https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/514107420

[5]https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/1119070975

[6]https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

[7]https://www.matongxue.com/madocs/619.html

[8]https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v/?spm_id_from=333.788.b_7265636f5f6c697374.2

[9]https://www.bilibili.com/video/BV1A4411Y7vj/?spm_id_from=333.788.videocard.4

[10]https://www.sohu.com/a/344346755_465219

[11]https://www.bilibili.com/video/BV1Gs411372c/?spm_id_from=333.788.videocard.5

[12]https://www.bilibili.com/video/av63539135/?spm_id_from=333.788.b_636f6d6d656e74.35

[13]https://observablehq.com/@mbostock/fourier-series-zoom

后記：很久之前就計(jì)劃要寫一下傅里葉分析相關(guān)的話題，但囿于水平有限，遲遲不敢動(dòng)筆。在查閱資料時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)【陳二喜】對(duì)什么是傅里葉級(jí)數(shù)/傅里葉變換有過很好的回答與解釋（可直接點(diǎn)擊上面參考資料里的第[4]條跳轉(zhuǎn)查看），可惜他的回答并沒有更新完畢?？梢哉f，【陳二喜】的回答直接催生了本系列文章，其中某些素材也直接取自于他的文章，在此向【陳二喜】及其他參考資料的作者表示感謝。

然而即便參考了眾多作者的資料，在自己寫這個(gè)系列時(shí)仍然深感力有不逮，時(shí)刻覺得這特么寫的是什么狗屎，那又講的是個(gè)什么玩意——不管怎樣，寫到這里，也算是給這個(gè)系列做了一個(gè)完結(jié)。

在系列文章的上篇里，主要通過四個(gè)栗子講述了傅里葉級(jí)數(shù)/傅里葉變換在實(shí)際生活中的應(yīng)用——它們分別是對(duì)目標(biāo)對(duì)象的挑選、收音機(jī)里的濾波、對(duì)音樂的分析以及彩虹的形成原理。

中篇里描述了通過什么樣的數(shù)學(xué)方法可以推導(dǎo)獲得周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。同時(shí)討論了周期函數(shù)通過傅里葉級(jí)數(shù)展開后所獲得的圖形樣式。通過引進(jìn)歐拉公式，可以將傅里葉分析轉(zhuǎn)換到復(fù)數(shù)平面上，并由此認(rèn)為傅里葉級(jí)數(shù)可以通俗地理解為是若干或無窮個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的疊加。

下篇里通過引進(jìn)周期T→∞的概念，從而將非周期函數(shù)等效認(rèn)為是周期函數(shù)，由此可推導(dǎo)得出非周期函數(shù)的傅里葉變換式。借助傅里葉分析的方法我們可以畫出形形色色的圖形，比如一只貓、一個(gè)人、一張中國地圖等等不一而足，具體可以點(diǎn)擊第[11]、[12]、[13]條參考資料里的鏈接跳轉(zhuǎn)查看。

實(shí)際上，傅里葉分析的內(nèi)容博大精深，本系列文章的討論僅僅也只涉及到一些皮毛，其他諸如傅里葉級(jí)數(shù)的存在條件、傅里葉級(jí)數(shù)的相位特性、快速傅里葉變換、離散時(shí)間的傅里葉變換、由傅里葉變換到Z變換/拉普拉斯變換等等均未涉及。如果有同學(xué)看到了這里，并對(duì)這些仍然感興趣的話，可以查閱更多、更專業(yè)的資料。

學(xué)習(xí)從來都不是一件簡單輕松的事情，如若有幸，愿與諸位共同學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

以上。