引言

熟悉林丹和李宗偉的都知道，羽毛球是一項激（基）情四射的體育運動。2020 年 7 月 4 日，世界羽壇名將林丹正式宣布退役。

圖 1: 基情四射的羽毛球，看得我蛋疼菊緊

林丹是羽毛球史上第一位集奧運會、世錦賽、世界杯、蘇迪曼杯、湯姆斯杯、亞運會、亞錦賽、全英賽、全運會及多座世界羽聯(lián)超級系列賽冠軍于一身的雙圈全滿貫選手，被譽為中國羽球一哥，是世界羽毛球最知名的明星球員。盡管如此，林丹可能仍然看不懂本文。

圖 2: 看不懂本指南的林丹：媽呀，不懂，艸

要是說“林丹是地球上最會打羽毛球的男人”，應該沒有人反對擅長物理的韓同學可能會第一個不服！

圖 3: 擅長裝逼的學霸：打羽毛球基本靠心算

已經(jīng)被保入清華物理系的韓同學表示：羽毛球運動是一個比較簡單的拋體模型，當對手擊球后，通過觀察羽毛球的速度和角度，并用手去感受風速，再考慮空氣動力學的修正，通過快速的心算就可以大概判斷出羽毛球的落點，再選擇合適的動作回擊。盡管我感覺到韓同學可能在裝逼，但機器人確實得靠芯算才能打羽毛球。

圖 4: 確實得靠芯算才能打羽毛球的機器人

實際上，羽毛球的運動并不簡單。由于羽毛球獨特的結構（圓錐形，頭重尾輕），羽毛球在飛行過程中會出現(xiàn)翻轉、振蕩和旋轉等獨特的行為。例如，運動員在使用球拍拍擊球頭后，羽毛球都要翻轉后繼續(xù)向前飛行（圖 5）。本文將建立羽毛球飛行的動力學模型 [1]，研究羽毛球運動的特征，為廣大羽毛球友科學地裝逼提供指南。

圖 5: 羽毛球被球拍擊中后迅速翻轉

簡史

在建立模型之前，本文先介紹一下羽毛球的歷史。早在兩千多年前，一種類似羽毛球運動的游戲就在中國、印度等國出現(xiàn)。中國叫打手毽，印度叫浦那，西歐等國則叫做毽子板球。十九世紀七十年代，英國軍人將在印度學到的浦那游戲帶回國，作為茶余飯后的消遣娛樂活動。在 14 世紀末，日本出現(xiàn)了把櫻桃插上美麗的羽毛當球，兩人用木板來回對打的運動。這便是羽毛球運動的原形。

圖 6: 古代中外與毽子和羽毛球相關畫作

現(xiàn)代羽毛球運動誕生在英國。1873年，在英國格拉斯哥郡的伯明頓鎮(zhèn)有一位叫鮑弗特的公爵（dukes of Beaufort），在他的領地開游園會，有幾個從印度回來的退役軍官就向大家介紹了一種隔網(wǎng)用拍子來回擊打毽球的游戲，人們對此產(chǎn)生了很大的興趣。因這項活動極富趣味性，很快就在上層社會社交場上風行開來?！安黝D”（Badminton）即成為羽毛球的英文名字。羽毛球于 1992 年巴塞羅那奧運會上被列為正式比賽項目。裝逼指南：要熟知以上羽毛球的起源、歷史和文化，這可以作為裝逼時的談資。比如當見到心儀的女球友拿著羽毛球時，你可以這樣夸贊她：“你拿羽毛球的樣子真美，如果法國的夏爾丹在世，一定會重繪一幅《拿羽毛球的姑娘》（圖 6 右）”。記住，在說“夏爾丹（Chardin）”時一定要用純正的法語口音。

圖 7: 現(xiàn)代羽毛球運動場地、球拍和羽毛球

現(xiàn)代羽毛球運動通常是兩人（單打）或四人（雙打）的球場運動。標準球場長 13.4 m，寬 5.2 m，被高 1.55 m 的網(wǎng)分隔成兩部分（圖 7 左）。比賽時，運動員站在各自的球場上，通過球拍擊打羽毛球，從而使羽毛球越過網(wǎng)并落入對手的半場。羽毛球過網(wǎng)之前，每側只能擊打一次。一旦羽毛球落地或運動員犯規(guī)，則該球結束并計分。羽毛球比賽通常采用“21 分制，3局2勝”，一場完整的羽毛球賽持續(xù) 1 小時左右，每局持續(xù) 20 分鐘左右，每球持續(xù) 10 秒左右。如圖 7 右所示，羽毛球由 16 根羽毛構成的球裙和軟木球頭組成，其質量 m=5.3m=5.3 g 左右，長度 L=10L=10 cm 左右，直徑 D=68D=68 mm 左右，羽毛夾角 Λ=45°\Lambda=45^\circ 左右 [5]。裝逼指南：要記住羽毛球場和羽毛球的這些參數(shù)，在適當?shù)臅r候準確的報出這些數(shù)字，能瞬間提高逼格，引起異性球友的關注。

實驗

大量文獻從實驗、理論和數(shù)值角度對羽毛球的運動軌跡進行了廣泛的研究 [6]。圖 8 是一次實驗中拍攝到的羽毛球運動軌跡，快照間隔為 50 ms，羽毛的初始速度為 58 m/s，出球角度（初速度與水平方向的夾角）為 52 °^\circ。

圖 8: 羽毛球運動軌跡 [6]

從圖中可以看出，開始羽毛球幾乎以直線飛行，并快速減速，在軌跡頂部速度最小，然后在重力作用重新加速，最終以恒定速度 6.7 m/s 垂直下落。顯然這并不是一條伽利略拋物線：羽毛球的軌跡并不具有對稱性，其射程（圖中顯示約為 9 m）遠小于預期（以相同速度和出球角度，按照理想拋物線計算約為 240 m）。這種不對稱性和射程的減小是由空氣阻力引起的。

也有少量文獻研究了羽毛球在飛行過程中的翻轉 [1]。圖 9 顯示的是一次實驗中羽毛球與球拍碰撞后，球軸與速度方向的夾角 φ\varphi 隨時間的演變?？煺臻g隔為 5 ms，初始速度 v0≈18.6\mathbf{v}_0\approx 18.6 m/s，初始翻轉角速度為 φ˙=206\dot{\varphi} = 206 rad/s。

圖 9: 羽毛球離拍后的角度與速度夾角 [1]

從圖中可以看出，與球拍接觸后（約 1 ms 的時間）, 羽毛球經(jīng)過 τf≈15\tau_f \approx 15 ms 的時間， 球軸方向發(fā)生 180°^\circ 的翻轉。然后，球軸以速度方向為平衡位置進行阻尼振蕩，直到球軸與速度方向一致為止。振蕩時間τo≈85\tau_o\approx 85 ms。 經(jīng)過約 130 ms 后, 球軸與速度方向一致。

模型

為了分析羽毛球的運動特性，需要對作用在羽毛球上的力加以分析。羽毛球被球拍擊中后，主要受到重力 mgm \mathbf{g} 和空氣阻力的作用。在引入空氣阻力之前，我們首先介紹一下流體力學最重要的概念之一，雷諾數(shù)：

Re=ρvDμ\begin{equation} \mathrm{Re} = \frac{\rho v D}{\mu} \end{equation}\\

其中 ρ\rho 表示流體（空氣）密度，μ\mu 表示流體動力粘度，vv 是物體（羽毛球）相對流體的速度，DD 是物體的特征長度。雷諾數(shù)實際上是流體的慣性力與粘性力比值的量度，雷諾數(shù)較小時，粘性力對流場的影響大于慣性力，流場中流速的擾動會因粘性力而衰減，流體流動穩(wěn)定，為層流；反之，若雷諾數(shù)較大時，慣性力對流場的影響大于粘性力，流體流動較不穩(wěn)定，流速的微小變化容易發(fā)展、增強，形成紊亂、不規(guī)則的紊流流場。在羽毛球運動中，雷諾數(shù)大約在 1.0×1041.0\times 10^4 到 2.0×1052.0\times 10^5 之間，屬于典型的湍流區(qū)。若假設羽毛球在運動的過程中，迎風截面積不變，則空氣的阻力可以表示為

FD=?12CdρS|v|v\begin{equation} \mathbf{F}_D = -\frac{1}{2}C_d \rho S \lvert\mathbf{v}\rvert \mathbf{v} \end{equation}\\

上式中右側負號表示阻力方向與相對速度方向相反。ρ\rho 為空氣密度，S=π(D/2)2S = \pi (D/2)^2 為羽毛球的截面積，v\mathbf{v} 為羽毛球的速度矢量，|v|\lvert\mathbf{v}\rvert 為速度大小，CdC_d 是阻力系數(shù)。實驗表明，在上述雷諾數(shù)范圍內，CdC_d 幾乎是常數(shù)，大概在 0.6 到 0.7 之間 [7,8]。上式表明，物體在空氣（流體）中受到的阻力大小正比于迎風橫截面積和相對速度的平方。這很容易理解，生活中有很多例子，例如騎自行車速度越大感受到的風阻也越大，專業(yè)自行車選手會通過壓低身體來減小迎風截面積。

圖 10: 騎自行車受到阻力示意圖

軌跡

為了像學霸一樣能夠判斷出羽毛球的落點，我們需要討論羽毛球的宏觀軌跡。從圖 9 的實驗中可知，羽毛球在被擊出之后，其朝向會迅速掉頭，經(jīng)過很短的震蕩過程后朝向會與速度方向保持一致。因此，其迎風的截面積在絕大部分時間內是不變的。通過上文空氣阻力的分析，可知羽毛球的質心運動方程為

mdvdt=mg?12CdρS|v|v\begin{equation}\label{eq:dv/dt} m\frac{\mathrmcxuuw5s \mathbf{v}}{\mathrm9cm0uhh t} = m\mathbf{g} - \frac{1}{2} C_d \rho S \lvert\mathbf{v}\rvert \mathbf{v} \end{equation}\\

由 dv/dt=0\mathrmi4mi0te\mathbf{v}/\mathrmoo4x5yft=0 可以確定出羽毛球的最終下落速度

v∞=2mgCdρS\begin{equation} v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d \rho S}} \end{equation}\\

如果將羽毛球的運動限定在 xx-zz 平面中，則羽毛球的質心運動方程可改寫為

x¨=?12CdρSx˙x˙+z˙,z¨=?12CdρSz˙x˙+z˙?g\begin{equation} \ddot{x} = -\frac{1}{2}C_d \rho S \dot{x} \sqrt{\dot{x}+\dot{z}}, \quad \ddot{z} = -\frac{1}{2}C_d \rho S \dot{z} \sqrt{\dot{x}+\dot{z}}-g \end{equation}\\

其中 x˙\dot{x}、x¨\ddot{x} 分別表示水平方向坐標 xx 對時間的一階導數(shù)（速度）和二階導數(shù)（加速度）。應用 MATLAB 中的 ode45 函數(shù)對以上微分方程組進行數(shù)值積分可求得羽毛球的軌跡。在本文的計算中，我們取羽毛球的質量 m=5.3m=5.3 g，截面積 S=36S=36 cm2\mathrm{cm}^2，阻力系數(shù) Cd=0.63C_d=0.63，空氣密度 ρ=1.2\rho=1.2 kg/m3\mathrm{kg/m^3}。圖 11 為實驗（點）和計算（線）得到的羽毛球運動軌跡。

圖 11: 實驗和計算得到的羽毛球運動軌跡

結果表明，計算給出的不同初速度和出球角度的軌跡曲線與實驗拍攝到的軌跡點非常吻合。這也證實了在研究羽毛球的軌跡時，可以忽略羽毛球在運動的過程中迎風截面積的變化。計算所使用的程序見附錄。

此外，我們通過軌跡的計算，還可以獲得不同速度大小和出球角度的羽毛球射程。計算結果如圖 12 所示，所使用的程序見附錄。

圖 12: 羽毛球射程與初速度和角度的關系

圖中每條曲線上的最高點表示該初速度下最大射程對應的出球角度（最大射程角）?？梢宰C明，在忽略空氣阻力的情況下，出球角度為 45 °^\circ 時射程最大。而有空氣阻力時，初速度越小，羽毛球受空氣阻力影響越小，最大射程角越接近于 45 °^\circ。初速度越大，最大射程角越小。羽毛球的最高飛行速度可達 170 m/s [9]，容易算出該球速下的最大射程約為 15.5 m。因此，羽毛球不太容易飛出長度為 13.4 m 的羽毛球場。這也是羽毛球平均每回合擊球數(shù)高達 13.5 次的原因。而網(wǎng)球平均每回合擊球數(shù)只有 3.5 次 [10]。網(wǎng)球的最高射程高達 67 m，這遠大于只有 24 m 長的網(wǎng)球場。裝逼指南：這提醒我們裝逼要注意科學性，千萬不要說出類似“我一拍能打出 16 米”這樣有失逼準的話。羽毛球的質心運動方程具有解析解 [11]，該解析解可以給出近似的射程

x0=L2cos?θ0ln?(1+4v02gLsin?θ0)\begin{equation} x_0 = \frac{\mathcal{L}}{2}\cos\theta_0\ln\left(1+4\frac{v_0^2}{g\mathcal{L}}\sin\theta_0\right) \end{equation}\\

其中 L=2m/(ρSCd)\mathcal{L}=2m/(\rho S C_d) 為空氣動力學特征長度。上式表明，羽毛球的射程取決于初速度 v0v_0 和角度 θ0\theta_0 的大小。我猜測學霸應該就是通過對類似公式進行心算來估計羽毛球落點的。

從質心運動方程可以看出，羽毛球的軌跡和射程還與空氣的密度相關。而空氣的密度又取決于溫度 TT 和相對濕度 δ\delta [12]：

ρ=p?Md+100×δ?psat?(Mv?Md)R?(T+273.15)\begin{equation} \rho = \frac{p\cdot M_d + 100\times\delta\cdot p_\mathrm{sat}\cdot (M_v-M_d)}{R\cdot (T+273.15)} \end{equation}\\

其中空氣相對濕度 δ∈[0,1]\delta\in [0,1]，p=101325p=101325 Pa 為標準大氣壓，Md=0.028964M_d=0.028964 kg/mol 為干空氣摩爾質量，Mv=0.018016M_v=0.018016 kg/mol 為水蒸氣摩爾質量，psat=6.1078×107.5T/(T+237.3)p_\mathrm{sat} = 6.1078\times 10^{7.5T/(T+237.3)} 為水的飽和蒸氣壓，R=8.314R=8.314 J/(K?mol)\mathrm{J/(K\cdot mol)} 為普適氣體常量。此外，羽毛的微觀網(wǎng)狀結構（圖 13）非常容易凝結小水滴，因此羽毛球的質量還與空氣濕度有關。

實驗表明，羽毛球質量（單位：g）隨空氣相對濕度線性增加：

m=5.16+0.39×δ\begin{equation} m = 5.16 + 0.39\times \delta \end{equation}\\

考慮北方的冬天（假設溫度為 -10°C^\circ C，相對濕度 30%）和南方的夏天（假設溫度為 30°C^\circ C，相對濕度 90 %）羽毛球的飛行軌跡，計算結果如圖 14，所使用的程序見附錄。

圖 14: 氣溫和濕度對羽毛球軌跡的影響

北方冬天和南方夏天空氣密度可相差 15%，并最終導致羽毛的軌跡和射程有明顯差異。因此，運動員在不同季節(jié)和不同地區(qū)打球，可不單是身體適應了溫度和濕度的變化就足夠了的。這個結果同樣也解釋了為何部分選手在打羽毛球之前需要蒸球。裝逼指南：提前查看天氣預報并記住溫度和濕度，根據(jù)公式計算出空氣密度和羽毛球質量。在打球時，就可以“指導”迷妹們如何用呼吸感受濕度、皮膚感受溫度，來修正羽毛球的軌跡和落點。

翻轉

羽毛球在飛行的過程中，還會出現(xiàn)翻轉和振蕩微觀行為。從圖 5 和 9 的實驗中可以看出，迎面飛向運動員的羽毛球都是球頭朝前。當運動員使用球拍擊中羽毛球球頭后，球軸朝向會發(fā)生 180 度的翻轉。

圖 15: 不同角度的羽毛球受力示意圖

羽毛球的這種翻轉的行為其實是羽毛球的獨特結構導致的。如圖 15 所示，羽毛球的質量主要集中于球頭，而球裙的羽毛卻貢獻了大部分截面積。因此，空氣阻力的作用中心和羽毛球質心顯然不會重合，這會對羽毛球形成一個凈力矩，使羽毛球頭部朝向其運動方向轉動。盡管圖 15d 所示的情況也屬于平衡態(tài)，但這種平衡是不穩(wěn)定平衡，極小的氣流擾動就能夠迅速的破壞這一平衡，使之朝著圖 15b 或 c 的情況轉變，并最終變?yōu)榉€(wěn)定平衡狀態(tài)（圖 15a）。

圖 16 左是對羽毛球的受力分析，其飛行速度為 \mathbf{v}，重心為 G， 空氣阻力的作用中心為 P，球軸與速度夾角為 \varphi。為了方便分析，我們將羽毛球簡化為圖 16 右所示的兩個圓球。B 球表示球裙，其截面積為 S_B，質量為 m_B。C 球表示球頭，其截面積為 S_C，質量為 m_C。由角動量定理可以推導（過程見附錄）出羽毛球以速度方向為平衡位置的振動方程：

\begin{equation} \ddot{\varphi}=-\frac{C_hbz5z9wv\rho\left(L_{GB} S_Bv_B -L_{GC}S_Cv_C\right)}{2m_BL_{GB}^2+2m_CL_{GC}^2} \sin\varphi -\frac{C_d \rho\left(L_{GB}^2 S_Bv_B + L_{GC}^2 S_C v_c\right)}{2,m_B L_{GB}^2+2,m_C L_{GC}^2}\dot{\varphi} \end{equation}\\

考慮到羽毛球重而小的球頭和大而輕的球裙，即 S_B m_c\gg S_Cm_b。以及由質心的定義可知 m_B L_{GB}=m_CL_{GC}。并假設 v_B\approx v_C\approx v，則上式可化簡為

\begin{equation}\label{eq:ddotphi2} \ddot{\varphi} + \omega_0^2\dot{\varphi} + \frac{1}{\tau_s}\sin\varphi = 0 \end{equation}\\

其中 \omega_0^2=\rho S_B C_d v^2/2 m L_{GC}，\tau_s =2m_B(1+m_B/m_c)/\rho S_B C_d v。上式是一個阻尼振蕩方程，描述了羽毛球以運動方向為平衡位置的振動。角頻率的平方項 \omega_0^2 對應于空氣阻力產(chǎn)生的穩(wěn)定力矩，而阻尼項 1/\tau_s 則來源于角度變化產(chǎn)生的垂直羽毛球運動方向的速度對應的阻力。應用 MATLAB 中的 ode45 函數(shù)可對以上振動方程和質心運動方程進行耦合求解，圖 17 是通過計算得到的羽毛球自由下落過程，模擬所使用的程序見附錄。

圖 17: 羽毛球自由下落的計算機模擬

根據(jù)振動方程，我們可以估算出羽毛球運動的一些特征時間。實驗表明（圖 9），羽毛球翻轉的時間小于穩(wěn)定時間。因此在考慮翻轉時間時，可以忽略上式中的阻尼項 \dot{\varphi}/\tau_s?？紤]到初始條件 \varphi(t=0)=\pi 和 \dot{\varphi}(t=0)=\dot{\varphi}_0，對上式進行積分有

\begin{equation} \dot{\varphi}^2 = \dot{\varphi}_0^2 + 2\omega_0^2(1+\cos\varphi) \end{equation}\\

則羽毛球翻轉時間可表示為

\begin{equation} \tau_f = \int_0^\pi \frac{\mathrmxqnt0er\varphi}{\dot{\varphi}}=\int_0^\pi \frac{\mathrmb7rojbx\varphi}{\sqrt{\dot{\varphi}_0^2+2\omega_0^2(1+\cos\varphi)}} \end{equation}\\

羽毛球振蕩時間可表示為

\begin{equation} \tau_o = \frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{v}\sqrt{\frac{2 m L_{GC}}{\rho S_B C_d }} \end{equation}\\

羽毛球的穩(wěn)定時間為

\begin{equation} \tau_s = \frac{2m_B(1+m_B/m_c)}{\rho S_B C_d v} \end{equation}\\

我們取參數(shù) m_C=3.0 g、m_B=2.3 g、S_B=36 \mathrm{cm}^2、C_d = 0.63，L_{GC}=2 cm 和 \rho=1.2 \mathrm{kg/m^3}，從而可以計算出 \omega_0=66.6。代入上式可得羽毛球翻轉時間 \tau_f=14 ms，振蕩時間 \tau_o=94 ms 和穩(wěn)定時間 \tau_s=127 ms。這和圖 9 實驗給出的翻轉時間 15 ms 左右、振蕩時間 85 ms 左右和穩(wěn)定時間 130 mm 左右非常吻合。

此外，初始條件中的初始速度 v_0 和初始翻轉角速度 \dot{\varphi} 兩者并不獨立。圖 18 表明羽毛球初始翻轉角速度和球裙長度之積 L\cdot \dot{\varphi} 與羽毛球的初速度 v_0 之間存在非常強的線性關系。換句話說，羽毛球的初速度越大，其初始翻轉角速度也越大。

圖 18: 初始角速度與初始速度的關系

前面討論了羽毛球在受到球拍擊打后的翻轉。在大多情況下，這種翻轉在對方球員接球之前就已經(jīng)完成。只有當羽毛球的穩(wěn)定時間與總飛行時間相當時，羽毛球的翻轉才會對對方球員造成影響。假定羽毛球在 1 m 的豎直高度上以 15 度角擊出，圖 19 給出了該種情況下羽毛球的穩(wěn)定時間與總飛行時間之比 \tau_s/\tau_0 隨羽毛球射程 x_0/L_\text{field} 的變化（計算程序見附錄）。

圖 19: 羽毛球的穩(wěn)定時間與射程關系

其中射程被除了球場長度 L_\text{field}=13.4 m 來進行歸一化。從圖 19 可以看出，只要水平身程大于 1.7 m（相應的初速度大于 3 m/s），羽毛球穩(wěn)定時間與總飛行時間之比就會迅速下降。即對方球員在接球之前，羽毛球的朝向就已經(jīng)基本與飛行方向一致。這同樣也意味著，對于近網(wǎng)球，你不能簡單的假定自己在回擊時，羽毛球的球頭是正對著自己飛過來的。

圖 20: 近網(wǎng)球情況下,羽毛球的翻轉

另外，穩(wěn)定時間的計算是建立在羽毛球被正常擊打的前提下的，那么搓球無疑會進一步增大翻轉對于羽毛球運動的影響。裝逼指南：可以通過控制球速（通常出球速度小于 3 m/s）來延長羽毛球的翻轉、振蕩和穩(wěn)定時間，讓對手無法擊中羽毛球球頭。

旋轉

羽毛球除了會翻轉之外，也會繞著中心軸旋轉。如圖 21 所示，各片羽毛并不是平攤成一個正多邊形，而是以一個小角度 \beta 相互疊在一起形成一個螺旋形。

圖 21: 穿過羽毛球的流線圖及旋轉示意圖

同風車、電風扇葉片等類似的結構一樣，當空氣相對于羽毛球向后流動時，空氣會在垂直羽片方向施加作用力（圖 21）帶動羽毛球旋轉。平衡時，羽毛球以一個穩(wěn)定的角速度旋轉。該角速度下空氣施加在羽毛上的推進力矩和摩擦力矩相等，即%。因此，羽毛球穩(wěn)定旋轉角速度和飛行速度之間的關系為

\begin{equation} \rho S_p \sin(\Lambda/2)\sin\beta v^2 R \sim \rho S_p \sin(\Lambda/2)\tan\left(\frac{R\Omega}{v}\right)v^2 R \end{equation}\\

其中 S_p 為羽片面積。實驗表明 R\Omega\ll v，因此上式可化為

\begin{equation} R\cdot \Omega \sim \sin\beta\cos\beta, v \end{equation}\\

這表明羽毛球的旋轉角速度 \Omega 與飛行速度 v 存在線性關系。如圖 22 所示，實驗數(shù)據(jù)的擬合驗證了這種線性關系的存在。

圖 22:羽毛球旋轉角速度與飛行速度的關系

這種旋轉會對羽毛球的運動產(chǎn)生什么樣的影響？是否會因為旋轉，離心力將羽毛向外甩開，造成羽毛球有效截面積的增大？實際上，由于風阻的作用，羽毛還會受到一個向內的壓力。風洞實驗表明 [1]，無論羽毛球是否旋轉，其阻力系數(shù)基本保持不變，即旋轉對阻力系數(shù)沒有顯?影響。此外，羽毛球的旋轉是否會產(chǎn)生明顯的進動，并且有助于其穩(wěn)定朝向呢？進一步研究證明，羽毛球繞對稱軸的轉動慣量太低，以至于轉動與平動速度比 \Omega R/v \sim 0.04 過小而根本起不到穩(wěn)定朝向的作用。這種效應只在羽毛球的翻轉運動中才會有一定的貢獻。裝逼指南：羽毛球的旋轉對羽毛球的運動沒什么明顯的影響，但由于旋轉與球速存在正比關系，對于迎面飛來不太方便觀測速度的球，可以通過球的旋轉反推出球速，從而選擇合適的反擊策略。

結果

前文中，我們建立起了羽毛球的質心運動方程、球軸的振動方程以及旋轉與飛行速度的關系。接下來，我們將應用 MATLAB 中的 ode45 函數(shù)對質心運動方程和球軸振動方程進行耦合求解，由于羽毛球的旋轉對其飛行沒有顯?影響，這里不再考慮。圖 23 和 24 是初速度為 v_0=50 m/s、初速度角為 \theta_0=50^\circ 的羽毛球運動的模擬結果。

圖 23: 羽毛球運動的模擬動畫圖 24: 羽毛球翻轉角度隨時間的變化

模擬所使用的參數(shù)為：球頭和球裙質量分別為 m_C=3.3 g 和 m_B=2 g，直徑分別為 d_C=3.2 cm 和 d_B=6.8 cm，羽毛球質心與球頭質心的距離 L_{GC}=2 cm。模擬所使用的程序見附錄。模擬結果顯示，羽毛球在飛行的初始階段翻轉和振蕩得比較厲害，而后逐漸趨于穩(wěn)定，后期羽毛球朝向基本與飛行速度一致。這和我們之前的分析和實驗觀測一致。裝逼指南：打羽毛球時帶上筆計本電腦，每打完一局休息階段，可用本文提供的模型和程序對比賽中的每一球進行復盤。必要時，可向心儀的異性球友演示模擬結果，并專注地看著模擬動畫說出類似這樣的話：果然和我心算的結果一樣，剛才那球要是出球角再增加 5 度，出球速度再下調 2.3 m/s 就更完美了。

結論

羽毛球的動力學及其對比賽的影響一直倍受關注。由于羽毛球獨特的結構（圓錐形，頭重尾輕），使得空氣阻力的作用中心和羽毛球質心并不重合。這導致了羽毛球在飛行過程中會出現(xiàn)翻轉、振蕩和旋轉等獨特的行為。本文通過理論和模擬對羽毛球獨特的行為進行了研究，并為科學的裝逼提供了寶貴的意見：

要熟知羽毛球的起源、歷史和文化，這可以作為裝逼時的談資。要記住羽毛球場和羽毛球的參數(shù)，在適當?shù)臅r候準確的報出這些數(shù)字。裝逼要注意科學性，千萬不要說出違反物理規(guī)律、有失逼準的話。提前查好參數(shù)，做好計算。打球時，就可以演示如何用呼吸感受濕度、皮膚感受溫度，來修正羽毛球的軌跡和落點?？梢酝ㄟ^控制球速來延長羽毛球的翻轉、振蕩和穩(wěn)定時間，來讓對手無法擊中羽毛球球頭。可通過羽毛球的旋轉來反推出球速，從而選擇合適的反擊策略?？捎帽疚奶峁┑哪Ｐ秃统绦驅Ρ荣愔械拿恳磺蜻M行復盤，并向球友演示復盤后優(yōu)化的結果。

提示：本文的裝逼指南僅適用于羽毛球打的好、數(shù)學物理又不差的人。如果羽毛球打得很爛，又強行裝逼，往往只會顯得畫蛇添足。羽毛球打得好的人，不僅體力好，腦子也快。這樣的人一般很討人異性喜歡。我一陳姓師弟，就因為羽毛球打得好，現(xiàn)已迎娶白富美球友，走向人生巔峰。要是再讓他學會此裝逼指南，必定是如虎添翼。不說了，我要喊他來學裝逼指南了。

附錄

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參考資料

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