你手邊有眼鏡盒，紙箱子，筆記本電腦，或者隨便什么長方體的東西嗎？要描述它的尺寸我們需要知道三個數(shù)據(jù)，長寬高(或者長寬厚)，對吧

現(xiàn)在，假如是個筆記本電腦，你想買個包能裝下它，你最關心的數(shù)據(jù)是什么呢？長和寬對不對？如果一個書包不是太淺或者太窄，就能裝下那個電腦，電腦的厚度在這個問題上會被忽略掉

電腦的長就是這個秩為3的矩陣的第一個主成分，寬就是第二個，厚是第三個，在上述問題里，為了不讓賣電腦包的小姐姐覺得你傻，你沒有問她那我電腦2厘米厚這個包能不能裝下，你就只想保留兩個主成分，也就是把維度降到二。

現(xiàn)在我們來推廣一下，假如你想買個包來裝一個不規(guī)則的物體，比如，啊好難想，比如一把羽毛球拍。羽毛球拍也是一個3D立體的物體，也可以用長寬厚來描述，在裝包的過程中你關心的也必然只是長和寬，也就是說你還是想降維。但是羽毛球拍的形狀并不是一個簡單的長方體，找到它的長寬厚這三個主成分需要把它向一個長方體，或者說一個三維直角坐標系投影———你需要量最長的長和最寬位置的寬。投影完事兒后，球拍優(yōu)美的弧線就都被抽象掉啦，就剩一個長寬厚的架子，相互垂直，這個過程就是所謂的奇異值分解(singular value decomposition)，抽象出來的那個架子就是中間的奇異值矩陣，主對角線以外的元素(那些圓弧)都是0，然后你把最小的奇異值去除掉，也就是厚度，你就實現(xiàn)了一次降維，可以就拿兩個數(shù)跟賣包小姐姐愉快的交流了！

最后說一點奇異值這個名字。singularity 是奇點的意思，你可以想象是質(zhì)量無窮大，怎么也消不掉的點。對于任何3D的物體而言，永遠都有長寬高，所以永遠都有3個奇點。如果一個奇點沒了，一個維度就會垮掉，比如沒有了厚度，它就變成2D的了。你之所以想對羽毛球拍降維，是因為第三個維度微不足道，前兩個維度可以很好的近似它:

試問，一個小朋友畫羽毛球拍簡筆畫時，是不是往往不畫厚度

最后多句嘴，從奇點這個名字你就能看出來，徹底消滅掉一個物體的維度有多么難，二向箔賽高！