宇宙是計(jì)算機(jī)嗎？

這個(gè)宇宙是計(jì)算機(jī)嗎？我們的這個(gè)現(xiàn)實(shí)世界，在理論上，可以用一臺(tái)要多強(qiáng)大就有多強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)來完全模擬嗎？

這個(gè)問題可不僅僅是個(gè)好玩的思想實(shí)驗(yàn)。我們需要理解計(jì)算機(jī)的本性，并且跟真實(shí)世界的本性做一個(gè)對(duì)比。使用計(jì)算機(jī)視角，我們會(huì)重新認(rèn)識(shí)這個(gè)世界。

而這一切要先從“實(shí)數(shù)”開始講起。

“自然數(shù)”是0，1，2，3，……

“整數(shù)”是自然數(shù)加上負(fù)的自然數(shù)：……-3，-2，-1，0，1，2，3……

“有理數(shù)”則包括了分?jǐn)?shù)和小數(shù)，但要求必須是有限的，或者是無限但是必須循環(huán)的小數(shù)——本質(zhì)上，所有有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)，也就是兩個(gè)整數(shù)相除：1/2，1/3，4/3……

我們先想一個(gè)問題：自然數(shù)多，還是自然數(shù)里的“偶數(shù)”多呢？

人的直覺反應(yīng)肯定是自然數(shù)比偶數(shù)多，自然數(shù)包括偶數(shù)和奇數(shù)，整體肯定比部分多啊?？墒牵匀粩?shù)和偶數(shù)都有無限多個(gè)，無限多的兩種東西，怎么比較多少——無限大和無限大到底哪個(gè)大，這是個(gè)問題。

大概是1874年，德國(guó)哲學(xué)家格奧爾格·康托（Georg Cantor）提出，自然數(shù)、自然數(shù)中的偶數(shù)，甚至一切有理數(shù)，都是一樣多的。

康托的洞見在于兩個(gè)集合的元素如果能一一對(duì)應(yīng)，那這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)就一樣多。

每個(gè)偶數(shù)除以2就是一個(gè)自然數(shù)，偶數(shù)和自然數(shù)可以一一對(duì)應(yīng)：

0?0，

2?1，

4?2，

6?3，

……

同樣的道理，全體整數(shù)的個(gè)數(shù)也和自然數(shù)的個(gè)數(shù)是一樣多的，因?yàn)槲覀兛梢园颜麛?shù)按照一定的規(guī)律“數(shù)出來”，也就建立了跟自然數(shù)的一一對(duì)應(yīng)：

0?0，

-1?1，

1?2，

-2?3，

2?4，

-3?5，

3?6，

……

一個(gè)包含無限個(gè)元素的集合只要是“可數(shù)”的（“數(shù)”是三聲，英文叫countable），它就能跟自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)，它的元素個(gè)數(shù)就跟自然數(shù)一樣多。

事實(shí)上，有理數(shù)的集合也是可數(shù)的。比如我們可以按照下面這張表格，把全體有理數(shù)列舉出來。

無非就是把每個(gè)有理數(shù)都寫成分?jǐn)?shù)的形式，然后根據(jù)分子、分母的數(shù)字決定它在表格上的位置。只要按照?qǐng)D中箭頭的方向，我們就可以把全體有理數(shù)數(shù)一遍。你一邊數(shù)著有理數(shù)，一邊數(shù)著自然數(shù)，這就建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以有理數(shù)也和自然數(shù)一樣多。

現(xiàn)在輪到“實(shí)數(shù)”了。所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，而實(shí)數(shù)還包括“無理數(shù)”，也就是小學(xué)老師所謂的“無限不循環(huán)小數(shù)”。無理數(shù)的特點(diǎn)是不能寫成分?jǐn)?shù)的形式，也就是不能用兩個(gè)整數(shù)相除得到。比如根號(hào)2和圓周率π就都是無理數(shù)。

無理數(shù)，是“不可數(shù)”的（uncountable）。

也就是說，實(shí)數(shù)不能跟自然數(shù)做一一對(duì)應(yīng)。雖然自然數(shù)和實(shí)數(shù)都有無限多個(gè)，但是這兩個(gè)無限不是一個(gè)級(jí)別——實(shí)數(shù)比自然數(shù)要多得多。如果你說自然數(shù)是“無窮多”，那實(shí)數(shù)就是“不可思議的多”。

計(jì)算機(jī)對(duì)算法有如下三個(gè)要求。這些要求就決定了，計(jì)算機(jī)和真實(shí)世界似乎是有區(qū)別的。

1、算法必須是“數(shù)字化”的

要么是整數(shù)，要么是有限位的小數(shù)。換句話說，計(jì)算機(jī)只能處理有理數(shù)。

比如說圓周率π。計(jì)算機(jī)里沒有真正的圓周率。你要輸入圓周率，只能輸入一個(gè)有限位的近似的小數(shù)，3.141592653……到一定長(zhǎng)度你必須停下。你可以用計(jì)算機(jī)把圓周率算到任意精度，但是總要在算到某一位的時(shí)候停下來。只要你停下了，你算的那個(gè)數(shù)就是一個(gè)有理數(shù)，而不是真正的π。

2、算法是一步一步的

計(jì)算機(jī)不能算連續(xù)。所有計(jì)算機(jī)程序都按照“步”運(yùn)行，這一步干什么、下一步干什么。

我們要模擬一個(gè)足球的運(yùn)動(dòng)，必須先把時(shí)間和空間分成若干“小步”，讓足球每次走一步。當(dāng)然我們可以把步分得很細(xì)——但是一旦確定了步，一步就是一步，沒有“半步”這種中間狀態(tài)。

這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的底層是一個(gè)開關(guān)網(wǎng)絡(luò)，要么是開，要么是關(guān)，沒有半開半關(guān)的狀態(tài)。

真實(shí)世界好像不是這樣的。我們揮一揮手，讓手從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，這應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，我們的手似乎應(yīng)該經(jīng)歷了從A點(diǎn)到B點(diǎn)之間每一個(gè)距離數(shù)字——其中既有有理數(shù)也有無理數(shù)。而計(jì)算機(jī)模擬的我們的手，只能經(jīng)歷有理數(shù)。

3、圖靈機(jī)必須停機(jī)

給一個(gè)算法，它一定要算出一個(gè)結(jié)果來。從這個(gè)意義上講，現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)都不是嚴(yán)格的圖靈機(jī)。比如我們用的個(gè)人電腦的操作系統(tǒng)，在理論上都可以永遠(yuǎn)不停機(jī)。我們還可以跟電腦做交互式的操作，這就更不是圖靈機(jī)了。而真實(shí)世界，也是交互的。當(dāng)然電腦里運(yùn)行的每一段代碼，都符合圖靈機(jī)的要求。

根據(jù)這些要求，計(jì)算機(jī)程序就一定是有限長(zhǎng)的而且是數(shù)字化的操作。事實(shí)上，所有計(jì)算機(jī)程序都可以翻譯成由0和1組成的代碼，硬件層面就是這么操作的。

所以計(jì)算機(jī)程序必定是可數(shù)的。比如我們可以按照下面這個(gè)方法列舉所有的計(jì)算機(jī)程序：

0

1

01

10

00

11

000

001

……

計(jì)算機(jī)程序的集合，是個(gè)可數(shù)的集合。那計(jì)算機(jī)能做的事情，就是可數(shù)的。

如果真實(shí)世界里有些不可數(shù)的事情，有些數(shù)必須是實(shí)數(shù)，那計(jì)算機(jī)怎么可能完全模擬真實(shí)世界呢？

加州大學(xué)伯克利分校的電子工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)教授愛德華·李（Edward Lee）在《柏拉圖和技術(shù)呆子》中舉了個(gè)氣球的例子。

我們把氣球充滿氣，它就變成了一個(gè)球形。如果氣球的直徑是1米，它的周長(zhǎng)就會(huì)是π米。我們可以把氣球當(dāng)成一個(gè)計(jì)算器，它幫我們計(jì)算了π——而π是一個(gè)無理數(shù)。氣球，是一臺(tái)可以計(jì)算無理數(shù)的機(jī)器。

有理數(shù)是我們對(duì)世界有限的觀測(cè)，而世界的本質(zhì)是實(shí)數(shù)。

（“數(shù)字宇宙假設(shè)”，這是一個(gè)不可證偽的假說，也許我們就是生活在一個(gè)分辨率有限的、可數(shù)的、可以完全用計(jì)算機(jī)模擬的數(shù)字宇宙之中。）

哥德爾不完備性定理

在1931年的一次會(huì)議上，一個(gè)25歲的年輕人，哥德爾（Goedel），做了一個(gè)報(bào)告，說他證明了一個(gè)有關(guān)自然數(shù)公理系統(tǒng)的定理。據(jù)說當(dāng)時(shí)馮·諾依曼（von Neumann）就在報(bào)告現(xiàn)場(chǎng)，馮·諾依曼聽完哥德爾的報(bào)告之后說了一句話：“全完蛋啦！”（Its all over?。?/span>

下面這張圖是一本漫畫書——Logicomix（最新中文譯本為《瘋狂的羅素》）中的一頁(yè)，表現(xiàn)了當(dāng)時(shí)哥德爾做報(bào)告的情景。

簡(jiǎn)單地說，哥德爾證明了，在自然數(shù)的公理系統(tǒng)中，不但我們想要的那種機(jī)械化的證明不存在——而且對(duì)有些命題來說，連“證明”本身，都根本不存在。

這就是“哥德爾不完備性定理”。這個(gè)定理說，只要自然數(shù)的公理系統(tǒng)只有有限條公理，那么就一定存在一些命題，你既不能用這些公理證明它是對(duì)的，也不能判斷它是錯(cuò)的。也就是自然數(shù)的公理系統(tǒng)是不完備的。

數(shù)學(xué)家的整個(gè)世界觀都崩塌了。

我們前面說了，所有可數(shù)的系統(tǒng)都等價(jià)于自然數(shù)系統(tǒng)。那么哥德爾不完備性定理的本質(zhì)就是說，一個(gè)可數(shù)系統(tǒng)本身，是說明不了自己的。

哥德爾不完備性定理給學(xué)術(shù)界開了一個(gè)巨大的腦洞。后來有人證明了一個(gè)類似的理論，說任何一個(gè)可以寫下來的語(yǔ)言系統(tǒng)，其中總會(huì)有一些語(yǔ)句，我們用這個(gè)語(yǔ)言系統(tǒng)本身是無法判斷其對(duì)錯(cuò)的，必須得跳出這個(gè)語(yǔ)言系統(tǒng)才能判斷。

也就是說，如果我們?nèi)康乃伎级急幌拗圃谝环N語(yǔ)言里，有些事兒對(duì)你來說就永遠(yuǎn)不知道怎么做決定，我們得跳出這個(gè)語(yǔ)言環(huán)境才行。

所以不管多么精細(xì)的語(yǔ)言，都是不完備的

物理學(xué)的邏輯

第一，物理學(xué)家總是用一個(gè)更“一般”的新理論，取代舊理論。

舊理論只是新理論在局部的一個(gè)特殊情況。比如，你把廣義相對(duì)論拿過來，考慮在一個(gè)引力比較弱的特殊情況下算一算物體的運(yùn)動(dòng)方式，它跟牛頓萬有引力公式的計(jì)算結(jié)果是一樣的。同樣的道理，你把牛頓萬有引力公式拿過來，結(jié)合考慮地球表面這個(gè)特殊情況，那就相當(dāng)于引力只和重量有關(guān)系。

第二，新理論除了能解釋舊理論不能解釋的一些現(xiàn)象，還能預(yù)言一些物理學(xué)家此前連想都沒想過的新的東西。

牛頓力學(xué)只能計(jì)算一般行星的軌道，可是有了廣義相對(duì)論，我們不但能解釋水星軌道的“怪異”變化，還能預(yù)言一些新東西。比如黑洞、引力波等，牛頓力學(xué)里根本沒有，天文觀測(cè)也沒見過，物理學(xué)家做夢(mèng)都沒夢(mèng)見過——可是如果你把廣義相對(duì)論當(dāng)個(gè)玩具，考慮這個(gè)方程在一些特殊情況下的解，你就能在紙面上算出來，應(yīng)該有這些東西存在！

結(jié)果多年之后，天文觀測(cè)的手段進(jìn)步了，天文學(xué)家一找，還真的找到了！這簡(jiǎn)直不可思議，你就覺得這個(gè)世界對(duì)物理學(xué)家真是非常友好。

1928年，理論物理學(xué)家保羅·狄拉克（Paul Dirac）把量子力學(xué)和狹義相對(duì)論結(jié)合到一起，提出了一個(gè)關(guān)于電子的新理論。他對(duì)新理論的方程求解，就發(fā)現(xiàn)這個(gè)理論除了能解釋電子的存在，方程還有另外一個(gè)解。那個(gè)解的各種性質(zhì)和電子一樣，但是它帶正電，是電子的“反物質(zhì)”。狄拉克就純粹根據(jù)自己的方程，說世界上應(yīng)該有“正電子”。結(jié)果到1932年，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家就真的找到了正電子！

第三，新理論不會(huì)讓物理學(xué)家滿足很長(zhǎng)時(shí)間，他們又會(huì)想要更新的理論。

有了新理論，打開了新世界，你很快發(fā)現(xiàn)又有新的現(xiàn)象是這個(gè)理論解釋不了的。比如廣義相對(duì)論似乎不能完全解釋暗能量，根本就無法解釋暗物質(zhì)，你就想要更新的理論。

如果有引力，尺度比較大，你就可以用廣義相對(duì)論；如果引力可以忽略，尺度比較小，你就可以用量子場(chǎng)論。

那如果引力比較大，尺度又比較小，該怎么辦呢？黑洞內(nèi)部，以及最初的宇宙，就是這種極端的情況，而我們還沒有一個(gè)理論適合這種情況。

所以現(xiàn)在物理學(xué)家最想要的，就是把廣義相對(duì)論和量子場(chǎng)論統(tǒng)一起來。所以它被稱為“統(tǒng)一理論”“萬物理論”“終極理論”。

下圖是物理學(xué)家心目中各個(gè)學(xué)科的推導(dǎo)關(guān)系，這一切的一切，都源自一個(gè)“終極理論”。

因?yàn)閿?shù)學(xué)允許宇宙存在

“終極理論”雖然是個(gè)大問題，但我們還要探討更大的問題，這大概也是人類所能問的最大的問題——這個(gè)宇宙到底為什么存在。

經(jīng)濟(jì)學(xué)家斯蒂文·蘭茲伯格（Steven Landsburg）十多年前寫過一本書叫《大問題》（The Big Questions），里面提到，有沒有什么東西，是必須存在，憑空就存在，而且一直都是不可約化的復(fù)雜的呢？

這樣的東西的確有，它就是，數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)是一套純粹的邏輯系統(tǒng)。數(shù)學(xué)家并沒有“發(fā)明”數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)家只是“發(fā)現(xiàn)”了數(shù)學(xué)知識(shí)。

在蘭茲伯格的《大問題》里。泰格馬克說，為什么宇宙會(huì)存在，是因?yàn)閿?shù)學(xué)存在。

數(shù)學(xué)王國(guó)，無須證明“為什么”，就存在。宇宙，只不過是數(shù)學(xué)王國(guó)中某些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的物理實(shí)體而已。為什么我們這個(gè)世界能存在呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)，允許，它存在。

泰格馬克有篇著名的論文，提出了一個(gè)關(guān)鍵的名詞，叫“包袱”（baggage）。所謂包袱，就是人類強(qiáng)加在數(shù)學(xué)系統(tǒng)上的概念。

比如一個(gè)籃球，明明是一堆原子，但我們?yōu)榱朔奖闫鹨姡堰@堆原子當(dāng)成同一個(gè)東西，叫“籃球”——籃球就是一個(gè)包袱。生物體的底層邏輯就是化學(xué)，泰格馬克說，化學(xué)是更基本的結(jié)構(gòu)，而生物體各個(gè)器官的名稱，就是包袱。同樣的道理，化學(xué)的底層是物理，所以化學(xué)概念也是包袱。

那如果把所謂的包袱都剝離掉，剩下來的是什么？

哲學(xué)上一直有個(gè)悖論，叫“無窮后退問題”。我們說這個(gè)物質(zhì)是由分子組成的，分子是由原子組成的，原子是由質(zhì)子、中子和電子組成的，這些又是由夸克組成的……那以此類推，推到哪里才算到頭呢？泰格馬克說，其實(shí)推到基本粒子那里，就已經(jīng)到頭了！

最后不帶包袱的這個(gè)東西，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。終極理論，不管它是什么樣子的，它必然是一個(gè)沒有任何包袱的純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

凡是有包袱的東西，都有一些“內(nèi)稟”的性質(zhì)。比如一把椅子，它的內(nèi)稟的性質(zhì)就包括它是什么顏色、是什么材質(zhì)、有什么歷史等。但是像“上夸克”這樣的基本粒子是沒有“內(nèi)稟”性質(zhì)的！

上夸克沒有歷史，世界上所有上夸克都是一模一樣不可區(qū)分的。什么是上夸克呢？只要帶2/3個(gè)電荷、1/3個(gè)單位的重子數(shù)、1/2個(gè)自旋和1/2個(gè)同位旋，再有一些質(zhì)量，那就是上夸克。上夸克的所有性質(zhì)都只是數(shù)學(xué)性質(zhì)，是純數(shù)學(xué)的產(chǎn)物。再問“上夸克是什么組成的”就沒有多大意義了，正如你不能問“立方體是什么組成的”——立方體就是立方體。

因此，世界是什么組成的，這個(gè)問題最簡(jiǎn)單的答案，大約就相當(dāng)于，“世界是立方體組成的——而立方體，因?yàn)槭莻€(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，所以立方體就是立方體”。

數(shù)學(xué)宇宙的特點(diǎn)就是除了數(shù)學(xué)就沒有別的東西——一切包袱都只不過是人為的概念而已?；玖Ｗ邮羌兇獾臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，底層的一切，只有數(shù)學(xué)。

當(dāng)然，并不是所有數(shù)學(xué)宇宙里都適合生命生存。有的數(shù)學(xué)宇宙非常簡(jiǎn)單，有的數(shù)學(xué)宇宙里能量不守恒，有的數(shù)學(xué)宇宙里不存在穩(wěn)定的質(zhì)子。我們這個(gè)宇宙看起來很不錯(cuò)，這只不過因?yàn)槲覀兦『蒙钤谶@個(gè)宇宙里，也可以說，這個(gè)宇宙恰好適合生命生存?，F(xiàn)在物理學(xué)家苦苦尋找的終極理論，就是我們這個(gè)數(shù)學(xué)宇宙的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

但是那些不適合生命生存的數(shù)學(xué)宇宙，也都存在。什么叫存在？不一定非得讓你看得見摸得著才叫存在，數(shù)學(xué)上存在就等于存在。

你、我、我們都是數(shù)學(xué)的產(chǎn)物，我們的各種活動(dòng)只是在實(shí)踐數(shù)學(xué)上的可能性而已——我們，就是數(shù)學(xué)的一部分。

曼德布洛特復(fù)數(shù)集合

對(duì)物理學(xué)家來說，量子隨機(jī)性是唯一隨機(jī)性，是物理定律不能預(yù)測(cè)的結(jié)果，是真正的意外。正因?yàn)榱孔恿W(xué)不斷制造意外，我們才在本質(zhì)上也無法計(jì)算每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)，所以宇宙中的信息才會(huì)越來越多。

簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)，也能生產(chǎn)非常復(fù)雜，甚至看起來就好像是隨機(jī)產(chǎn)生的信息。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：

根號(hào)2

=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799……

我們從中截取一段數(shù)字，比如“42096980785”，你會(huì)覺得這是一段完全隨機(jī)的數(shù)字——但事實(shí)上它一點(diǎn)都不隨機(jī)！

根號(hào)2是個(gè)無理數(shù)，它的小數(shù)部分無窮無盡，而且不會(huì)循環(huán)。表面上看，這串?dāng)?shù)字中包含了無窮多的信息，實(shí)際上它只是根號(hào)2這么一個(gè)信息！

還有一個(gè)特別著名的例子，叫“曼德布洛特復(fù)數(shù)集合”。簡(jiǎn)單說來這是復(fù)平面上的一張圖，橫坐標(biāo)是實(shí)數(shù)軸，縱坐標(biāo)是虛數(shù)軸。咱們先看看這張圖的一個(gè)局部，如下圖所示。

這張圖非常漂亮，而且感覺特別復(fù)雜。這張圖的看點(diǎn)在于各個(gè)地方看起來有點(diǎn)相似，但又不是完全一樣，所以你沒辦法用復(fù)制粘貼的方法畫這個(gè)圖，你也沒有辦法高效地壓縮它。

那這么復(fù)雜的圖是怎么生成的呢？其實(shí)非常簡(jiǎn)單！你只要選定一個(gè)復(fù)數(shù)c，然后從z=0開始，反復(fù)迭代如下公式

這樣生成一連串的數(shù)字z，每一個(gè)新數(shù)都是前一個(gè)數(shù)用這個(gè)公式計(jì)算出來——然后你把所有這些數(shù)都標(biāo)記在復(fù)平面上。全局圖是下圖這個(gè)樣子的。

為了好看，你可以根據(jù)一定的規(guī)則標(biāo)記顏色。從這張圖上一點(diǎn)深入進(jìn)去，可以有無窮無盡的變化。

而這美麗的復(fù)雜其實(shí)是個(gè)幻覺！這一切源于這個(gè)無比簡(jiǎn)單的公式。

我們這個(gè)宇宙現(xiàn)在的一切，看似無比的繁華復(fù)雜，其實(shí)都是從一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)公式推演出來的。除了終極理論的那個(gè)公式，宇宙從來都沒有過新信息！