在之前的文章中，我介紹了為了生成分形而迭代復(fù)數(shù)的歷史和基礎(chǔ)知識。從朱莉婭集合開始，我們通過定義和繪制曼德布羅特集合到達(dá)分形幾何的心臟。

我們最初的好奇心確實(shí)得到了滿足，就像數(shù)學(xué)中的許多發(fā)現(xiàn)一樣，曼德爾布羅特集合的發(fā)現(xiàn)只會把我們帶到一個新的問題領(lǐng)域，分形是否存在于不同的數(shù)系中？更具體地說，曼德爾布羅特集的三維對等物是什么？

序言

魯?shù)稀ぢ蹇?p style="font-size: 18px; line-height: 40px; text-align: left; margin-bottom: 30px;">一個叫魯?shù)稀ぢ蹇耸且晃唤艹龅臄?shù)學(xué)家、計算機(jī)科學(xué)家和科幻小說作家，也是賽博朋克文化運(yùn)動的創(chuàng)始人之一，他一直走在STEM世界的前沿（STEM是一門課程，其思想是通過跨學(xué)科和應(yīng)用的方法對四個特定學(xué)科（科學(xué)，技術(shù)，工程和數(shù)學(xué)）的學(xué)生進(jìn)行教育）。因此，在伯努瓦最初發(fā)表之后，他就敏銳地意識到了曼德爾布羅特集。富有創(chuàng)造力的洛克欣賞曼德爾布羅特集合，但是他的小說想象力將他推進(jìn)到下一個步驟：存在一個數(shù)學(xué)上等價的曼德爾布羅特集合的3D結(jié)構(gòu)。

不幸的是，洛克了解硬件的計算極限（80年代），知道所需的數(shù)十億次計算可能是不可能的。受當(dāng)時技術(shù)的限制，洛克做了他最擅長的事：他把它寫下來。1987年，洛克以一篇題為《如上所述，如下所述》的短篇小說首次以3D的形式寫出了尋找圣杯（數(shù)學(xué)上等價的曼德爾布羅特集合的3D結(jié)構(gòu)）的證據(jù)，這是理所當(dāng)然的。在這篇小說中，他想象了曼德爾布羅特的發(fā)現(xiàn)，并將其命名為：曼德爾球。

早期的

嘗試

尋找三維等價物的關(guān)鍵在于數(shù)字系統(tǒng)中的不確定性。曼德爾布羅特集適合二維空間，因?yàn)閺?fù)數(shù)有兩個分量。我們能在三維空間中找到類似的數(shù)字系統(tǒng)嗎？

數(shù)字系統(tǒng)問題

遍歷的曼德爾布羅特公式 （Z^2 + C）涉及兩個操作：求和和復(fù)數(shù)的平方。創(chuàng)建一個可以進(jìn)行加法運(yùn)算的n元數(shù)組是很簡單的，這就是線性代數(shù)中的向量空間。

但是，由于曼德爾布羅特公式還涉及到對數(shù)字進(jìn)行平方，這需要在向量空間上使用乘法運(yùn)算符（向量積），因此就產(chǎn)生了復(fù)雜性。具有向量乘積的向量空間稱為域上的代數(shù)。為了了解為什么三維數(shù)字系統(tǒng)會有問題，讓我們嘗試創(chuàng)建一個。

我們從復(fù)數(shù)開始并引入第三個分量j。接下來，我們需要保證復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的某些性質(zhì)也適用于我們的新數(shù)字系統(tǒng)；因?yàn)槲覀冃枰臃ê统朔?，所以我們特別關(guān)注保持結(jié)合律（a（b+c）=（ab）+（ac））和交換律（ab=ba）不變。

我們已經(jīng)知道在向量空間中進(jìn)行加法時分配律是成立的，所以我們只需要明確三個分量的單位是如何相乘的（我們會用乘法表來說明這一點(diǎn)）。當(dāng)乘以1時，這兩個性質(zhì)意味著一致性，這意味著我們的矩陣必須是對稱的：

對于任何泛函數(shù)系統(tǒng)，任何數(shù)乘以1仍然是1，如果我們現(xiàn)在要求實(shí)虛分量以一種特定的方式表現(xiàn)，我們只剩下三個分量——上面矩陣中的問號。

很遺憾，我們上面的系統(tǒng)顯然沒有關(guān)聯(lián)性，這可以從方程 i(ij)=(ii)jix=j看出，無論我們?nèi)绾芜x擇x，它都不能滿足。

四維四元數(shù)

以上強(qiáng)調(diào)了在三維中創(chuàng)建一致的數(shù)字系統(tǒng)的最大障礙。然而，第一個突破在邏輯上繞過了這里列出的問題，利用了一個幾十年前的定理：赫維茨定理。赫維茨定理是一個復(fù)雜的技術(shù)術(shù)語大雜燴，針對復(fù)雜性進(jìn)行了優(yōu)化：

該定理指出，如果二次形式在代數(shù)的非零部分將同態(tài)定義為正實(shí)數(shù)，那么代數(shù)必須與實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)或八元數(shù)同構(gòu)。

上面簡單的翻譯為：對于我們的數(shù)字系統(tǒng)有某些操作（乘法/除法），他們必須在四個數(shù)學(xué)空間中的一個：實(shí)數(shù)（1D），復(fù)數(shù)（2D），四元數(shù)（4D）和八元數(shù)（8D）。

沒有3維系統(tǒng)。

因此，基于這個理論，一個名叫艾倫·諾頓的人試圖用四元數(shù)（4D）系統(tǒng)找到3D曼德爾布羅特等價。他的論文（發(fā)表于1982年）展示了通過展示4D空間的3D“切片”而完全實(shí)現(xiàn)的四元數(shù)朱莉婭集，這里有一個四元數(shù)朱莉婭分形的例子：

四維四元朱莉婭集

自然地，為了使一個四維物體形象化，你必須進(jìn)行某種形式的維度縮減。最常見的方法是制作一個三維橫截面，只需將四個元素中的一個保持在一個固定的值。不幸的是，雖然上面設(shè)置的四維朱莉婭集確實(shí)很吸引人，但在搜索四維曼德爾布羅特時，將四個分量中的一個保持在一個固定的值會造成二階問題。通過強(qiáng)制元素保持固定，任何曼德爾布羅特創(chuàng)建的四都會自動在至少一個軸上對稱：

元數(shù)

曼德爾球

在接下來的20年里，幾乎沒有什么表現(xiàn)。因此，對3D曼德爾布羅特集合的搜索直到2007年才有進(jìn)展，當(dāng)時一位名叫丹尼爾·懷特的業(yè)余數(shù)學(xué)家在參考體系中提出了一個深刻的轉(zhuǎn)變。

懷特的洞察力，他的貢獻(xiàn)，是從幾何學(xué)上解釋了曼德爾布羅特的定義——這使得在3D中工作更加實(shí)用。他沒有像在2D曼德爾布羅特中那樣繞著圓旋轉(zhuǎn)，而是在三維球坐標(biāo)（x，y，z）中繞著φ和θ旋轉(zhuǎn)。

回想一下，曼德爾布羅特集強(qiáng)調(diào)了轉(zhuǎn)義行為，即從變化復(fù)雜常量開始并遍歷Z^2 + C。懷特的目的是復(fù)制這種幾何的邊界—極限關(guān)系。與曼德爾布羅特一樣，在概念上，懷特設(shè)想將一個超級復(fù)雜的點(diǎn)（Z）平方以得到一個新的點(diǎn)，然后添加剩下的常數(shù)（C）。實(shí)際上，它有點(diǎn)復(fù)雜，因?yàn)槠椒皆黾恿肆考壔虻叫曼c(diǎn)的距離；然而，在加C之前這個新點(diǎn)的方向是什么？

2007年11月，丹尼爾·懷特在網(wǎng)上首次發(fā)布了以下著名公式：

下面，我們將提供一種視覺效果，希望能幫助你直觀地理解懷特的方法。之后，我們將逐步遍歷上面代碼的邏輯。我們試圖在函數(shù)Z中擬合一組超復(fù)數(shù) Z + C

。從第一原理出發(fā)，讓我們畫出一個3D平面并隨機(jī)選擇一個點(diǎn)（x，y，z）：

double r

= sqrt (x*x + y*y + z*z);

double yAng

= atan2 (sqrt(x*x + y*y), z);

doubnt zAn

g = atan2 (y , x);

在(r)上方的起始線，就是3D中的距離公式。在分形世界中，這是原始公式Z的第一步。另一種看待這個的方法是r是向量的大小，它是舊點(diǎn)和新點(diǎn)之間的距離。然而，如上所述，這使我們?nèi)狈Ψ较颉覀儾恢肋@個新點(diǎn)在什么方向上。

這就是為什么接下來的兩條線著重于提取角度。在上面的圖中，yAng映射到φ，它是高度角；zAng映射到θ，作為x和y方向的夾角。

newX = (r*r) * sin( yAng*2 + 0.5*pi ) * cos(zAng*2 +pi);

newY = (r*r) * sin( yAng*2 + 0.5*pi ) * sin(zAng*2 +pi);

newZ = (r*r) * cos( yAng*2 + 0.5*pi )；

接下來的內(nèi)容要抽象得多。似乎每一行都是為了在二維復(fù)平面中再現(xiàn)曼德爾布羅特迭代的動力學(xué)，特別是使角度加倍。為什么這些三角恒等式有一半的偏移？盡管差異是一致的機(jī)制的3D數(shù)字系統(tǒng)，這意味著可能有整個家族的三維分形，取決于角度系數(shù)和偏移量的選擇。

幸運(yùn)的是，代碼的其余部分非常簡單，因?yàn)樗藢⒊?shù)（x，y，z）添加到新點(diǎn)（xNew，yNew，zNew）；這是到達(dá)最后一點(diǎn)的簡單添加，然后我們將使用它作為下一次迭代的輸入。

正如上面所示，懷特沒有用復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法，而是用幾何方法來解決這個問題。理論上，這種方法可能生成難以捉摸的3D曼德爾布羅特，然而，當(dāng)它最終渲染時，最初的結(jié)果是令人失望的：

從上面可以看到，懷特方法的輸出與添加了軸的曼德爾布羅特集非常相似。就像2D的任務(wù)一樣，我們很難判斷我們到底在尋找什么，這意味著很難判斷什么是正確的。合理地說，我們期望3D-曼德爾布羅特在多個方向上包含極端的細(xì)節(jié)和對稱。懷特確實(shí)有正確的公式，但他沒有在正確的維度上進(jìn)行搜索。

最初在分形幾何中使用的公式，曼德爾布羅特、朱莉婭和法圖集的關(guān)鍵，被定義為： Z + C。我們假設(shè)這個完全相同的公式會在不同的數(shù)字系統(tǒng)中產(chǎn)生相似的結(jié)果。另一個名叫保羅·尼蘭德的狂熱分子對懷特的邏輯很有信心，但對令人失望的輸出結(jié)果感到失望，于是決定進(jìn)行試驗(yàn)，將Z提高到不同的冪次。

經(jīng)過多次嘗試和極其緩慢的渲染，尼蘭德和懷特終于偶然發(fā)現(xiàn)了今天被稱為曼德爾球的東西。由于沒有明顯的客觀原因，了這一對相信這是最接近曼德爾布羅特集合的等效物之外，沒有明顯的客觀原因，曼德爾布羅特集合的公式是：Z + C。

結(jié)論

我們終于取得了分形幾何領(lǐng)域自1980年曼德布羅特首次發(fā)表他的集合以來可以說是最偉大的突破：曼德爾球。它是用更新的公式（Z + C）在三維空間中生成的，它確實(shí)包含了曼德爾布羅特集合中所展示的許多屬性。它無可爭議的視覺魅力和極其詳細(xì)的細(xì)節(jié)，正如許多視頻所顯示的，它還包含了無限的復(fù)雜性，就像曼德爾布羅特集一樣。

不可否認(rèn)，它值得分形界的贊美和慶祝，但仍有很大的懷疑，這是否是圣杯？事實(shí)上，就連懷特也承認(rèn)，這很可能只是漫長旅途中的又一步。