原標(biāo)題：數(shù)學(xué)的起源

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數(shù)學(xué)演化的歷史

動(dòng)物也具有數(shù)學(xué)本能。

比如，蜜蜂建造的蜂巢，是嚴(yán)格的六角柱形體。它的一端是六角形開口，另一端則是封閉的六角棱錐體的底，由三個(gè)相同的菱形組成。這些蜂巢組成底盤的菱形的所有鈍角都是109°28′，所有的銳角都是70°32′。后來法國(guó)數(shù)學(xué)家克尼格和蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克洛林計(jì)算得知：如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是這個(gè)角度。

丹頂鶴遷徙總是成群結(jié)隊(duì)，而且排成“人”字形。這“人”字形的角度永遠(yuǎn)是110°左右，如果計(jì)算更精確些，“人”字夾角的一半，即每邊與丹頂鶴群前進(jìn)方向的夾角為54°44′08″。按照這個(gè)隊(duì)形，使得隊(duì)伍中的丹頂鶴最省力。

同樣地，人類從遠(yuǎn)古走來，最開始是猿，從猿進(jìn)化到人。因此，人在生存發(fā)展的過程中，必然要產(chǎn)生基本的數(shù)量需求和位置需求。比如，人生存好要吃肉，吃肉就要捕獵，可捕獵是有風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)然誰也不愿意受傷。那么，就要思考這一個(gè)月需要吃幾頭豬，并且不用冒更大的風(fēng)險(xiǎn)捕獵更多的豬。而這對(duì)應(yīng)著基本的數(shù)量需求。另外，我們要有住的地方，不能直接挨著獅群住，也不能離水源太遠(yuǎn)，還要考慮地勢(shì)高低，不能一下雨，住的地方就成了水坑。這就對(duì)應(yīng)著基本的位置需求。 這就產(chǎn)生了基本的數(shù)量需求和位置需求。

產(chǎn)生了這些東西之后就希望有一種描述，于是數(shù)學(xué)從這個(gè)時(shí)候開始產(chǎn)生，但是非常的粗淺。比如說，一個(gè)原始社會(huì)的一個(gè)群落或者一個(gè)山洞，這個(gè)山洞里面我們到底有多少個(gè)人、我們打死了幾只猴子、幾只野豬等等這些東西都需要計(jì)量。再比如，我們還需要研究位置關(guān)系：我們所居住的山洞跟某一個(gè)河流構(gòu)成了怎樣的位置關(guān)系，跟某一個(gè)岔路口構(gòu)成怎樣的位置關(guān)系，當(dāng)時(shí)這些問題都需要前人來解決。同時(shí)，我們還要解決場(chǎng)所的大小問題。比如說，我們這個(gè)山洞它究竟有多大，它究竟能夠容納多少人等等，這都是問題。這些問題發(fā)生了，于是人類開始產(chǎn)生最基本的東西。比如說，最開始需要計(jì)量，于是產(chǎn)生了1、2、3、4等自然數(shù)。

為什么稱之為自然數(shù)呢？

數(shù)學(xué)的定義都是經(jīng)過嚴(yán)格推敲的，是要反映它的本質(zhì)，給人以形象的理解。舉個(gè)稍復(fù)雜點(diǎn)的概念——支集，具體的定義為：一個(gè)函數(shù)f定義在集合X上，其中X的一個(gè)子集，滿足f恰好在這個(gè)子集上非0，那么，這個(gè)集合稱為支集。這就好像X軸是地面，函數(shù)像人一樣從地面上支撐起來。

因?yàn)樗菑拇笞匀恢衼?，自然產(chǎn)生的。有了數(shù)量需求，就想著表示。從最開始，不同的人有不同的發(fā)展，因?yàn)樗亲匀话l(fā)生的。我們最開始就產(chǎn)生自然數(shù)，利用這個(gè)東西來計(jì)量。我們想想人類最開始有數(shù)學(xué)需求的時(shí)候，那個(gè)時(shí)候又沒有這些數(shù)字，于是那個(gè)時(shí)候只能弄一個(gè)小繩。比如說，我打死一只狍子，我在這個(gè)小繩上系個(gè)扣，我打死第二只再系第二個(gè)扣……等回來之后酋長(zhǎng)問我：你今天戰(zhàn)果如何??？我把那個(gè)小繩往外一掏，給你看這么多個(gè)扣。問我戰(zhàn)果怎么樣？你看有多少個(gè)小疙瘩，那么戰(zhàn)果就有多少。所以那個(gè)時(shí)候人類生活是很不方便的，只能通過那些小疙瘩來計(jì)數(shù)。而后來，發(fā)明了數(shù)，雖然這事對(duì)我們今天來講是很簡(jiǎn)單一件事，在那個(gè)時(shí)候來講它極不簡(jiǎn)單。

當(dāng)人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)變得越來越明確時(shí)，人們覺得有必要以某種方式來表達(dá)事物的這一屬性，于是就產(chǎn)生了計(jì)數(shù)。最開始的是采用手指計(jì)數(shù)，一只手五根指頭表示5以內(nèi)的事物的集合，兩只手就表示10以內(nèi)的事物的集合。正如亞里士多德所言，我們今天十進(jìn)制的廣泛采用就源于人生來就有10根手指這樣的解剖學(xué)結(jié)果。隨著人們對(duì)于數(shù)的需求越來越大，10以內(nèi)的數(shù)已經(jīng)不敷運(yùn)用時(shí)，于是我們就出現(xiàn)了石子計(jì)數(shù)。但隨之而又出現(xiàn)了一個(gè)很大的不便，計(jì)數(shù)的石子很難長(zhǎng)久保存信息，容易出現(xiàn)丟失。所以隨著發(fā)展又出現(xiàn)結(jié)繩計(jì)數(shù)和刻痕計(jì)數(shù)這兩種計(jì)數(shù)方式，這打開了我們計(jì)數(shù)發(fā)展的新局面，是一個(gè)跨越式的前進(jìn)。

例如，在美國(guó)自然史博物館保存有古代南美印加部落用來記事的繩結(jié)：在一根較粗的繩子上栓系涂有顏色的細(xì)繩，再在細(xì)繩上打著各種各樣的結(jié)，不同顏色和結(jié)的位置、形狀表示不同的事物和數(shù)目。這種記事方法在秘魯高原一直盛行到19世紀(jì)，而日本的琉球島居民還仍然保持著結(jié)繩記事的傳統(tǒng)，足見結(jié)繩記事對(duì)于人類發(fā)展的重要意義。計(jì)數(shù)系的出現(xiàn)使數(shù)與數(shù)之間的書寫運(yùn)算成為可能，在此基礎(chǔ)之上初等算術(shù)在幾個(gè)古老文明地區(qū)發(fā)展起來了。

數(shù)1、2、3、4……我把它排成順序，只要記其中一個(gè)就行，根本不必要重復(fù)。比如說，打死了八只狍子，1、2、3、4、5、6、7、8，我只要能說出“8”，大家就能明白什么意思。這就是最開始產(chǎn)生“數(shù)”。

但大家想想，在古代，那個(gè)時(shí)候還沒有面積的概念，但是人們還要描述事物的大小，你們說怎么辦？我們現(xiàn)在就模仿一下古人。假如說我們現(xiàn)在沒有面積的概念，也沒有尺寸的概念，要描述一下這塊石板有多大怎么告訴我？最開始肯定用手臂比劃一下。但如果在遇到兩個(gè)情況就不好辦了：一個(gè)情況是，這個(gè)石板遠(yuǎn)遠(yuǎn)比我的兩個(gè)手臂寬，怎么辦？長(zhǎng)和寬都要超過手臂能比劃的范圍，怎么辦？另一種情況是你在五里以外，發(fā)現(xiàn)這么一塊石板，你又不能見我的面，要通過一個(gè)小孩，來轉(zhuǎn)達(dá)我，怎么辦？你可以想象很多種情況。在這個(gè)時(shí)候就遇到困難。不要單說這么大的石頭，還有的情況是：非常小，小的像一個(gè)小米粒那么大，然后跟我“恩恩恩”，以手做比劃，我這么比劃了半天，尤其是遠(yuǎn)的同學(xué)，你也沒看明白什么意思，是吧？我在這里邊，說，有一種黃色的米，你啥也看不到，就是說，太小了你看不出來，超過你雙臂能比劃的范圍你也看不出來。在這個(gè)時(shí)候，人類就想，我怎么描述它呢？于是有一天，終于想出來，用長(zhǎng)和寬的關(guān)系來描述面積，用長(zhǎng)寬高的關(guān)系來描述體積。所以大家想，這個(gè)世界，我們今天所描述的東西，都不是憑空而來的。

很多數(shù)學(xué)基本概念的定義確定了數(shù)學(xué)未來發(fā)展的形式。

面積表示著平方的概念，如果是一塊面積。平方就是二維了，就涉及到以后的坐標(biāo)系，并直接暗含著直角坐標(biāo)系。如果，一開始面積表示不是平方，而是現(xiàn)在講的菱形，那么，菱形坐標(biāo)系該怎么表示？

笛卡爾坐標(biāo)系

其實(shí)呢，最開始借助的都是長(zhǎng)乘寬。用長(zhǎng)和寬相乘，用方的東西，不管是正方的，還是長(zhǎng)方的，用一個(gè)方的東西定義了面積。但是以后即使不是方的，我也借助于方的來表達(dá)。所以，很多東西不是從來就是這樣的。如果我們善于從哲學(xué)角度想問題的話，你將會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這里不自覺的有這樣一個(gè)坐標(biāo)關(guān)系。借助于一個(gè)直角坐標(biāo)關(guān)系。那就是說，說明這個(gè)角是直角。你這么定義面積。大家再想想，人類還可以換多種方式定義面積。比如說，現(xiàn)在的坐標(biāo)軸都是這樣的一個(gè)角度的坐標(biāo)軸，不是90°，而是60°，60°的坐標(biāo)的話，我仍然可以建立坐標(biāo)，那么我仍然可以用60°的坐標(biāo)這種關(guān)系建立面積的概念。如果人類最開始定義面積，用這種60°角（的坐標(biāo)）來定義面積，那么你們可以想象，我們今天的數(shù)學(xué)就不是今天這個(gè)樣子。所以數(shù)學(xué)它最后形成的形式，跟你最開始的定義方式是密切相連的。我們到了大學(xué)，讓我們做這樣一個(gè)不定積分，（sinx/x）的不定積分，覺得這個(gè)東西太難了。那么這個(gè)不定積分原函數(shù)我們?cè)跀?shù)學(xué)上怎么回答？原函數(shù)是存在的，但是我們不知道他如何表達(dá)，因此我們就說這個(gè)不定積分現(xiàn)在沒有。事實(shí)上，我們后來真的學(xué)了積分之后，我們發(fā)現(xiàn)要描述它非常容易。為什么呢？因?yàn)槲覀冎灰谝粋€(gè)很小的范圍內(nèi)，我們把sinx進(jìn)行泰勒展開。發(fā)現(xiàn)它就是這么一個(gè)關(guān)系，你只要把x跟它每一個(gè)除一下，它就變成了。我們發(fā)現(xiàn)把這個(gè)原函數(shù)找到，并且算一下計(jì)算就比較簡(jiǎn)單。我們只要找到了它，對(duì)它進(jìn)行積分，就是一個(gè)冪函數(shù)積分，積出來還是個(gè)級(jí)數(shù)，非常簡(jiǎn)單。一個(gè)用積分表達(dá)，計(jì)算起來也并不復(fù)雜的東西，為什么我們通常表述就那么難呢？這就說明我們今天的數(shù)學(xué)是沿著一特定的思路來定義下來的，來演繹下來的。假如說現(xiàn)在我們定義面積，我們是按60°定義或者按30°來定義而不是按90°來定義的話，這個(gè)時(shí)候，你重新算sinx/x這個(gè)積分的時(shí)候，可能一下子積出來，這是個(gè)非常簡(jiǎn)單的東西。而現(xiàn)在我們非常簡(jiǎn)單的東西，那個(gè)時(shí)候就有可能變得非常復(fù)雜的東西。我們有些從事數(shù)學(xué)的人，在一些具體問題上能夠取得一定的成就，但是可以說，仍然處在一個(gè)“小家”的水平上，不能稱之為大家。問題就在于他們并不能夠用開闊的思想來思考數(shù)學(xué)，他們不知道數(shù)學(xué)為什么是這個(gè)形式，他們不知道數(shù)學(xué)未來將會(huì)是什么形式，他們不知道數(shù)學(xué)未來將怎樣發(fā)生革命。像牛頓、萊布尼茲、龐加萊、克萊因等大數(shù)學(xué)家，他們都是有很深的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)哲學(xué)功底的。

我們最開始由于數(shù)量的需要，產(chǎn)生了數(shù)字。后來由于要解決位置的問題，產(chǎn)生了歐幾里得平面幾何。雖然中國(guó)人在古代并不知道歐幾里得，但是中國(guó)人、希臘人和其他國(guó)家的人一樣都需要解決這些實(shí)際問題。與算術(shù)的產(chǎn)生相仿，最初的幾何知識(shí)則是源于人們對(duì)于形的直覺中萌發(fā)出來的，史前人大概首先是從自然界本身提取幾何形式，在器皿制作、建筑設(shè)計(jì)及繪畫裝飾中加以呈現(xiàn)。據(jù)研究，不同地區(qū)幾何的產(chǎn)生有不同的歷史背景。古埃及幾何學(xué)產(chǎn)生于尼羅河泛濫后土地的重新丈量，古印度的幾何學(xué)的起源則與宗教實(shí)踐密切相關(guān)，而古代中國(guó)幾何學(xué)的起源更多的與天文觀測(cè)相聯(lián)系，由此，我們也可以發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)的出現(xiàn)離不開我們生產(chǎn)生活的需要。

一旦這些實(shí)際問題得到解決，對(duì)于我們現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活是十分有益的。數(shù)字——自然數(shù)產(chǎn)生之后，我們想描述現(xiàn)實(shí)的情況變得有可能了。比如說，在我們這樣一個(gè)小區(qū)域內(nèi)有多少棵楊樹呢，我們只要查一下，有27棵楊樹。在一個(gè)小區(qū)域內(nèi)有27棵楊樹，我只要寫這樣一個(gè)數(shù)字就行了。注意，那個(gè)時(shí)候中國(guó)可沒有這樣一個(gè)數(shù)字，這是阿拉伯人發(fā)明的，阿伯人用這樣一個(gè)方式來描述，我們中國(guó)人不用這個(gè)方式，中國(guó)人用一橫兩橫來描述。阿拉伯人用這個(gè)“1、2、3、4、5……”來描述，羅馬人用“Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……”來描述，而中國(guó)人用什么來描述呢？中國(guó)人用 “一、二、三、四、五……”。

不同的民族有不同的描述方式，別看這個(gè)描述方式看起來很簡(jiǎn)單，這里的問題比較復(fù)雜。我們想想為什么數(shù)學(xué)在西方比較發(fā)達(dá)？比如說像古希臘，羅馬，后來的法國(guó)、英國(guó)、德國(guó)等等，為什么在這些國(guó)家，在西方率先發(fā)展起來了？為什么中國(guó)古代曾經(jīng)有燦爛輝煌的數(shù)學(xué)，為什么近代沒有發(fā)展起來呢？古羅馬發(fā)展也受限制。一個(gè)很重要的原因是我們的數(shù)學(xué)表達(dá)形式太難了，或者用另一種說法叫沒有及時(shí)符號(hào)化。用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，比如一千五百二十一加一千五百二十五，寫成“1521+1525”，列豎式運(yùn)算，非常方便，但是按照我們的文字表達(dá)，加起來很困難，其他運(yùn)算也是如此。

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運(yùn)算關(guān)系的產(chǎn)生歷史

不同的民族都需要數(shù)字，需用數(shù)字來表達(dá)，在現(xiàn)實(shí)生活中常會(huì)涉及數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系。比如軍營(yíng)里面現(xiàn)有一個(gè)營(yíng)的兵力，然后又有人來參軍，又來了一個(gè)營(yíng)零一個(gè)連的兵力，那么我們一共有多少兵力？這樣的數(shù)量關(guān)系怎么描述呢？再比如現(xiàn)在軍營(yíng)里面有三個(gè)營(yíng)的兵力，需要分出去兩個(gè)營(yíng)給別人，怎么分？于是現(xiàn)實(shí)生活中就產(chǎn)生了加法和減法。涉及要把一些東西合到一起測(cè)量總數(shù)的時(shí)候就產(chǎn)生了加法，涉及要從一個(gè)總的數(shù)字當(dāng)中分一些東西出去，就產(chǎn)生了減法。在人類最早的文字記載中，加減運(yùn)算是最早掌握的兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算。我國(guó)古代比較注重利用工具來做計(jì)算，用算籌或者算盤來做加減法，記錄時(shí)用的是文字表達(dá)。在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中因?yàn)橛行枨?，才產(chǎn)生了各種各樣的運(yùn)算。從根本上說，人類一般是不干傻事的，總是產(chǎn)生對(duì)人類有用的東西。

算籌

有人問為什么三加二等五，實(shí)際上這個(gè)問題沒有什么好問為什么的，這些關(guān)系就是確定的。如果探討緣由的話，這不是純數(shù)學(xué)的推理能解釋的，而是一個(gè)哲學(xué)、歷史、社會(huì)學(xué)的問題。就是因?yàn)樗阈g(shù)的結(jié)論是在人類幾百年、幾千年的社會(huì)實(shí)踐過程中積累、歸納、總結(jié)下來的，它們逐漸在人們意識(shí)中固定了下來，在符號(hào)的語言中固定了下來，以及在實(shí)際的應(yīng)用中固定了下來。比如三個(gè)和兩個(gè)放在一塊就是五個(gè)，兩個(gè)和三個(gè)放在一塊也是五個(gè)（這最終還總結(jié)出了加法結(jié)合律），任何時(shí)候、任何地方都是這樣。當(dāng)然現(xiàn)實(shí)中也有時(shí)候不是這樣，比如三升水和兩升酒精加在一起就不是五升，但是，數(shù)學(xué)的模型、數(shù)學(xué)的抽象舍棄了這些特殊的情況而抓一般的情況。當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中是需要認(rèn)清前提的，否則會(huì)鬧出笑話。

那現(xiàn)實(shí)生活中為什么要產(chǎn)生乘法呢？我們可以想一想，如果我們要一些東西加起來，比如3+3+3+3+3；使用加法很容易得到3+3+3+3+3=15，能得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果。假如有五十個(gè)“3”相加呢，那我們需要3+3+3+……，這樣太麻煩了。為了簡(jiǎn)化起見，人們用一種新的方式來表達(dá)它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎么產(chǎn)生的呢？一個(gè)數(shù)按照相等的關(guān)系能減出來多少倍，比如十除以三等于三余一，意思就是十按照三個(gè)等分這么分的話，只能分出三個(gè)等分來，最后剩下一等分。

加減乘除運(yùn)算關(guān)系，都是小學(xué)最基本的東西。問題的根本在于是否知道它的來龍去脈，就是它到底是怎么來的，到底是什么意思。

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分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)的產(chǎn)生歷史

我們講數(shù)學(xué)，講“數(shù)”，數(shù)最先產(chǎn)生的是自然數(shù)，就是“1、2、3、4、5、6、7、8……”，一直往下數(shù)下去就是自然數(shù)。而后又加入了“0”，“0”和那些自然數(shù)，形成了最初的整數(shù)的概念（注：負(fù)數(shù)產(chǎn)生后，整數(shù)的概念中又加入了負(fù)整數(shù)）。再后來又出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的概念，甚至還出現(xiàn)了小數(shù)的概念。分?jǐn)?shù)的概念很簡(jiǎn)單，比如說媽媽烙了一個(gè)餅，家里有三個(gè)孩子，于是把這個(gè)餅分成三份，然后分給每個(gè)孩子，這時(shí)候就需要表述：每個(gè)孩子吃了多少呢？哦！一個(gè)孩子吃了三分之一。媽媽一想，還得給你們爸爸留一份，拿刀在這個(gè)餅上切了個(gè)“十字”，分成了四塊。這時(shí)一塊餅就變成四份了。而后媽媽再一想，我自己還沒吃呢，就可以把這個(gè)餅分成五份。這里就涉及三分之一，四分之一，五分之一。從這里可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)整體要分成若干份，我們?cè)瓉砹私獾恼麛?shù)的概念隨著生產(chǎn)生活的發(fā)展逐漸不夠用了，在進(jìn)行測(cè)量、分物或計(jì)算時(shí)，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，于是就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)的概念。

小數(shù)又是如何產(chǎn)生的呢？一些實(shí)用的計(jì)量單位多采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，由此也就產(chǎn)生了十進(jìn)分?jǐn)?shù)，也就是小數(shù)。小數(shù)的產(chǎn)生較負(fù)數(shù)晚，第一個(gè)將這一概念提出的是魏晉時(shí)代的劉徽，他在計(jì)算圓周率的過程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽7個(gè)長(zhǎng)度計(jì)量單位，對(duì)于忽以下的更小單位則不再命名，統(tǒng)稱為“微數(shù)”。在早期小數(shù)可視為是分?jǐn)?shù)的一種變形的表達(dá)形式。有的是一種準(zhǔn)確的表達(dá)，有的則是一種近似的表達(dá)。比如，當(dāng)我們描述三分之一的時(shí)候，三分之一是一個(gè)準(zhǔn)確的概念，而0.333333……不管后面有多少個(gè)3，都是不準(zhǔn)確的。但不管怎么說，我們現(xiàn)實(shí)生活中有了小數(shù)也行。比如說，分了一塊餅的三分之一，這個(gè)說法很準(zhǔn)確；說分了0.3333塊餅，雖然有點(diǎn)近似，但是也能理解它的意思。因此小數(shù)也有小數(shù)的意義。于是我們的加減乘除運(yùn)算，也可以把分?jǐn)?shù)和小數(shù)加進(jìn)去。

人們?cè)谏a(chǎn)生活實(shí)踐中，為了表示相反意義的量，如錢糧虧損、材料欠缺、負(fù)債等情況，將其用數(shù)學(xué)符號(hào)來表達(dá)，就產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。在中國(guó)公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，就最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，加上負(fù)數(shù)，就構(gòu)成了我們今天所說的有理數(shù)。

九章算術(shù)

有了有理數(shù)，我們?cè)倏礋o理數(shù)。無理數(shù)的產(chǎn)生也是很早的，但它被人們真正接受卻是比較晚的。早在公元前470年左右的古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)員希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線長(zhǎng)度不能用整數(shù)之比的形式來表達(dá)，打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“任何數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比”的信條。這個(gè)長(zhǎng)度的值其實(shí)就是后來說的無理數(shù)，然而希帕索斯本人卻因此被驚恐無比的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派其他成員投入大海。隨后，數(shù)學(xué)家們陷入了對(duì)這個(gè)問題的長(zhǎng)期的爭(zhēng)論中，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。但是真理是掩蓋不了的，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派抹殺真理才是“無理”，人們?yōu)榱思o(jì)念希帕索斯，把這樣的量稱作“無理數(shù)”，無理數(shù)最終還是被人們認(rèn)識(shí)到并且影響了隨后整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。

希帕索斯

在數(shù)的范圍在不斷擴(kuò)展的同時(shí)，計(jì)算領(lǐng)域內(nèi)也產(chǎn)生了很多新的運(yùn)算。在計(jì)算體積的過程中產(chǎn)生了乘方的概念，如一個(gè)正方形加上一個(gè)高變成正方體，相同的量三次相乘，就構(gòu)成了三次方。產(chǎn)生了乘方，自然，也就要產(chǎn)生與之相反的開方的概念。

隨著我們現(xiàn)實(shí)中需要解決的數(shù)量關(guān)系越來越復(fù)雜，運(yùn)算關(guān)系也變得越來越豐富，數(shù)的表現(xiàn)方式也變得越來越豐富。前面所說的有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，后來又有了虛數(shù)的概念。與整數(shù)、分?jǐn)?shù)等不同的是，虛數(shù)不是在自然科學(xué)或技術(shù)方面的推動(dòng)下產(chǎn)生的，而是產(chǎn)生于數(shù)學(xué)本身內(nèi)部產(chǎn)生的抽象的數(shù)學(xué)體系，但在后來也產(chǎn)生了極有價(jià)值的應(yīng)用。

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復(fù)數(shù)的歷史

虛數(shù)究竟是如何產(chǎn)生的？在中學(xué)的教科書中，出于中學(xué)知識(shí)所限，將其解釋為為了讓方程

有解而引入了虛數(shù)i。但在歷史中，復(fù)數(shù)是在一些數(shù)學(xué)家求解三次方程的過程中，發(fā)現(xiàn)結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)對(duì)負(fù)數(shù)的開方，于是這個(gè)時(shí)候提出了虛數(shù)?？梢哉f，復(fù)數(shù)正是在代數(shù)方程的求解中產(chǎn)生的。在古希臘時(shí)期，丟番圖的《算數(shù)》中就已經(jīng)記載了一元二次方程在時(shí)的情形，但當(dāng)時(shí)丟番圖沒有考慮這種方程是否有解。直到16世紀(jì)，三、四次方程的求解中才出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。意大利學(xué)者卡爾丹在塔塔利亞的基礎(chǔ)上推出了一般三次方程的解法。但在求解的過程中，出現(xiàn)了不可約的情形，這時(shí)負(fù)數(shù)會(huì)被開方。然而這是當(dāng)時(shí)的歐洲人無法接受的，因?yàn)樨?fù)數(shù)的出現(xiàn)本身就難以接受了（歐洲人為什么難以接受負(fù)數(shù)，這也是一個(gè)與社會(huì)學(xué)文化學(xué)相關(guān)的有意思的問題），更別說給負(fù)數(shù)開方。之后，又有意大利數(shù)學(xué)家邦貝利引入了復(fù)數(shù)，但他本人覺得復(fù)數(shù)是神秘而無用的東西。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾也將困惑數(shù)學(xué)家的“虛無縹緲”的東西命名為“虛數(shù)”。

但是在19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家給出了復(fù)數(shù)的幾何解釋。也就是用一個(gè)十字坐標(biāo)，把一個(gè)稱之曰虛軸，一個(gè)稱之曰實(shí)軸，構(gòu)成一個(gè)平面，實(shí)數(shù)和虛數(shù)走到一起構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)，寫成a+bi的形式，而這個(gè)平面就是復(fù)平面（如下圖）。而這個(gè)和向量即既有大小又有方向的量就可以對(duì)應(yīng)起來了。在此基礎(chǔ)上，將a、b換成變量x，y，并由此建立了復(fù)變函數(shù)。

后來人們又逐漸發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的理論體系在解決很多現(xiàn)實(shí)問題是很好的工具。在流體力學(xué)中，比如對(duì)于一條河流，中間有一根木頭擋住了一部分水流，那么對(duì)于木頭兩側(cè)的水流，雖然距離很近，甚至可以忽略，但是兩邊水流的速率、方向卻相差非常大，必須要繞過木頭才能建立起相應(yīng)的關(guān)系。把這個(gè)現(xiàn)象用一個(gè)模型來表達(dá)（如下圖），

發(fā)現(xiàn)它和復(fù)平面上復(fù)變函數(shù)的性性質(zhì)非常相似。 也就是，對(duì)于復(fù)平面上這樣一個(gè)區(qū)域，中間被部分隔斷，在被隔斷處兩側(cè)，雖然距離非常小，但是函數(shù)在這兩端的性質(zhì)相差非常大。因此，人們開始越來越相信復(fù)數(shù)的產(chǎn)生在數(shù)學(xué)中是有著非常重要的意義的。返回搜狐，查看更多

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