摘要 1900~1928年間是物理學(xué)史上最激動(dòng)人心的時(shí)代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時(shí)間里構(gòu)造了嶄新的量子力學(xué)體系，從而改變了物理學(xué)的面貌，也徹底地改變了人類社會(huì)的面貌。本文將系統(tǒng)地解釋什么是量子(quantum)、什么是力學(xué)(mechanics)，在對(duì)量子力學(xué)創(chuàng)建過(guò)程的回顧中講述構(gòu)成量子力學(xué)的具體內(nèi)容，然后會(huì)介紹幾例量子力學(xué)帶來(lái)的新技術(shù)。量子力學(xué)從來(lái)都不是什么革命，它只是經(jīng)典物理學(xué)自然的、邏輯的延續(xù)。量子力學(xué)一如物理學(xué)的其它分支，都是人類思想智慧的結(jié)晶。量子力學(xué)，還有相對(duì)論，這些百多年前的頭腦風(fēng)暴，今天應(yīng)該成為受教育者的知識(shí)標(biāo)配。

關(guān)鍵詞 (能量、作用量、相空間)量子，量子化，黑體輻射，光譜線，玻爾模型，躍遷，量子化條件，矩陣力學(xué)，波動(dòng)力學(xué)，波函數(shù)，量子數(shù)，自旋，群論，相對(duì)論量子力學(xué)，反粒子

1900~1928 年間是物理學(xué)史上最激動(dòng)人心的時(shí)代，一群天才，主要是年輕人，在不到三十年的時(shí)間里構(gòu)造了嶄新的量子力學(xué)體系。若將1900 年普朗克得到黑體輻射譜的數(shù)學(xué)表達(dá)作為量子力學(xué)誕生的標(biāo)志，則量子力學(xué)至今已誕生120 年了。量子力學(xué)不僅改變了物理學(xué)的面貌，也徹底地改變了人類社會(huì)的面貌。量子力學(xué)是人類思想智慧的結(jié)晶，百多年前它是天才頭腦風(fēng)暴的產(chǎn)物，在今天它應(yīng)該成為受教育者的知識(shí)標(biāo)配。本文將在對(duì)量子力學(xué)創(chuàng)建過(guò)程的回顧中系統(tǒng)講述構(gòu)成量子力學(xué)的具體內(nèi)容。文章的大致章節(jié)安排如下：

(1) Quantum與mechanics 釋義(2) 量子意味什么?(3) 量子力學(xué)是如何創(chuàng)立的?(4) 量子力學(xué)的輝煌成就(5) 如何學(xué)習(xí)量子力學(xué)?

1 Quantum與mechanics 釋義

Quantum mechanics， 量子力學(xué)， 其中的quantum 來(lái)自拉丁語(yǔ)形容詞“多少”的中性形式。拉丁語(yǔ)形容詞“多少”的陽(yáng)性、中性、陰性形式分別是quantus，quantum，quanta。在拉丁語(yǔ)系的現(xiàn)代語(yǔ)言中，比如意大利語(yǔ)， quantum 的同源詞都明顯是多少的意思，比如Quanto costano(這東西多少錢(qián))？Quanti anni hai (你有幾個(gè)歲，即貴庚幾何)? 如今英文的quantity，quantitate，quantitative 都源于quantum， 和數(shù)量有關(guān)，是定量、量化的意思。實(shí)際上，在英語(yǔ)中quantum 這個(gè)詞的原形也一直被當(dāng)作“數(shù)量”在用，比如見(jiàn)于quantum of rainfall (降雨量)。在著名的007 系列中，有一集為quantum of solace，被翻譯成了“量子危機(jī)”。其實(shí)這里的quantum 不可以作“量子”解。Quantum of solace 是舒適度、安全度的意思。過(guò)去的江湖人士、而今的特工或者明星到了任何地方，都要本能地迅速評(píng)估出環(huán)境的安全度或者舒適度，電影Quantum of solace要反映的就是特工007 的這種本領(lǐng)。在和量子力學(xué)有關(guān)的西語(yǔ)語(yǔ)境中， quantum (quant)被當(dāng)成名詞單數(shù)，而quanta (quanten)被當(dāng)成名詞復(fù)數(shù)用，偶爾也有用quantal的。

那么quantum mechanics 中的mechanics 是什么意思呢？Mechanic 是個(gè)希臘語(yǔ)詞，與機(jī)械、工程有關(guān)， 比如希臘語(yǔ)的工程師是μηχανικ??(mechanikos)， 照相機(jī)是φωτογρακ? μηχαν? (photograkee mechanee)。弓箭、拋石機(jī)是人類最早的機(jī)械，機(jī)械手表可說(shuō)是機(jī)械制造的巔峰。Mechanics，mechanism， 正確的理解是機(jī)巧、道理、機(jī)制， how it goes，類似漢語(yǔ)的“道”。十九世紀(jì)人們用機(jī)械觀來(lái)理解遇到的各種物理現(xiàn)象，故有熱的機(jī)械觀(the mechanics of heat)，電的機(jī)械觀(the mechanics of electricity)，原子的機(jī)械觀(the mechanics of atom)。Mechanics 被漢譯為力學(xué)是錯(cuò)譯，英語(yǔ)的力學(xué)是theory of force，德語(yǔ)為die Kraftslehre， 但是力的概念在1894 年已經(jīng)被赫茲踢出了物理學(xué)，后來(lái)的物理學(xué)基本不再拿力來(lái)說(shuō)事情。Analytical mechanics ( 分析力學(xué))， statistical mechanics (統(tǒng)計(jì)力學(xué))，都不是力學(xué)，如果說(shuō)analytical mechanics 還偶爾有force 這個(gè)概念出現(xiàn)的話，在statistical mechanics 就根本沒(méi)有力的蹤影。至于把熱功轉(zhuǎn)換的學(xué)問(wèn)，thermodynamics(dynamis， 功、能力、威力)，給理解為熱—力學(xué)，將之連同electrondynamics (電—?jiǎng)恿W(xué)) 一起都?xì)w于所謂的四大“力”學(xué)，其害不淺。Quantum Mechanics， 字面上大約可以理解為關(guān)于小物理量世界的道，日本人把它翻譯成量子力學(xué)。

2 量子意味什么?

當(dāng)我們將量子，quantum，的概念引入科學(xué)時(shí)，我們看中或者說(shuō)試圖賦予它什么特性呢？一個(gè)事物之最小構(gòu)成單元就是quantum，它具有完整性、不可分辨性。沙丁魚(yú)群的quantum就是一條一條的沙丁魚(yú)。談?wù)摿孔訂?wèn)題要關(guān)注兩個(gè)詞， atom和integer， 不要把它們簡(jiǎn)單地按照英漢字典理解成“原子”和“整數(shù)”，而是應(yīng)該按照拉丁語(yǔ)字面理解為不可分(a-tom)和不相連(in-teger)。Atom 和integer 就體現(xiàn)了量子的精神，這種精神在日常生活中就有應(yīng)用。試舉一例。春秋時(shí)期，齊景公麾下有三個(gè)猛士公孫接、田開(kāi)疆、古冶子，因居功自傲得罪了相國(guó)晏嬰(“晏子過(guò)而趨，三子者不起”)，結(jié)果“一朝被讒言，二桃殺三士?！睘槭裁炊夷軞⑷磕?？因?yàn)樘以诒弧坝?jì)功而食”的語(yǔ)境中就有了不可分的特性(atomicity)， 兩個(gè)桃子三個(gè)人分，只好爭(zhēng)搶。三個(gè)猛士因爭(zhēng)搶引起了羞辱感，結(jié)果全自殺身亡，這完全是著了人家的量子計(jì)謀(圖1)。量子(quantum)，不可分性(atomicity)或者分立的特性(discreteness)， 相對(duì)應(yīng)的是連續(xù)、彌散的分布。尊重分立性的存在，也是古老的生活智慧。人民解放軍有一位將軍皮定均中將，據(jù)傳他就規(guī)定他的部隊(duì)里“吃雞蛋必須以煮雞蛋的形式發(fā)到士兵手里，不許做成雞蛋湯、炒雞蛋?！敝箅u蛋體現(xiàn)的是一個(gè)一個(gè)雞蛋的分立存在，忽略雞蛋個(gè)頭上的差別，則吃到了就是吃到了，一點(diǎn)不含糊。與之相對(duì)，炒雞蛋、雞蛋湯語(yǔ)境下的雞蛋是攪合到一起的，雞蛋失去了其量子特征，則就有了很大的可含糊的余地：“二斤雞蛋炒兩個(gè)辣椒和二斤辣椒炒兩個(gè)雞蛋，都是辣椒炒雞蛋。” 一般教科書(shū)中將經(jīng)典物理放到量子物理的對(duì)立面上，暗示經(jīng)典物理不關(guān)注discreteness 的問(wèn)題，恕筆者不敢茍同。

圖1 二桃殺三士，選自《南陽(yáng)漢畫(huà)像石精萃》

量子是存在的最小單元，涉及不可分和分立性，則當(dāng)我們談?wù)撚缮贁?shù)幾個(gè)單元組成的體系時(shí)，要抱著一種謹(jǐn)慎的態(tài)度，因?yàn)檫@里要用到不同的處理問(wèn)題的方式或者哲學(xué)。比如我國(guó)2018 年GDP 總量約是93 萬(wàn)億元，以人民幣的量子來(lái)表示，就是9300 萬(wàn)億分，是一個(gè)16 位數(shù)。我們說(shuō)增長(zhǎng)率是6.6%，這個(gè)數(shù)值單純從算術(shù)的角度來(lái)看是合理的；其實(shí)就是說(shuō)增長(zhǎng)率為6.612724568932% 也行。但是，若我們說(shuō)某單位工資額比去年同比漲了6.61%就可能不是很科學(xué)，因?yàn)楣べY可能就是分幾檔漲的，其中就不含6.61%這一檔。此外，漲工資更多的是關(guān)系到個(gè)人的事情，含糊的、近似的平均漲6.61% 的說(shuō)法數(shù)學(xué)上沒(méi)大毛病但也不科學(xué)。一個(gè)極端的例子是，若提到誰(shuí)家的人口增長(zhǎng)，比如說(shuō)老馬家的人口去年增長(zhǎng)了6%， 雖然百分比后面都沒(méi)有小數(shù)點(diǎn)，它也顯得不是人話。對(duì)于家庭這種由少數(shù)幾個(gè)量子(人)組成的體系，說(shuō)清楚馬王家到底幾口人添了幾個(gè)孩子才恰當(dāng)。大家這感覺(jué)到了吧，量子的概念及關(guān)聯(lián)的思維不是多么邪乎，它就存在于我們的日常生活中。

找到或者定義了一個(gè)物理量的量子，就是量子化。量子力學(xué)里量子化了什么物理量呢？首先被量子化了的是能量，具體地，先被量子化的是分子的動(dòng)能。到了1913 年前后，為了給氫原子中電子的能量取分立的值找個(gè)借口，有了角動(dòng)量或者作用量(action)的量子化，作用量的量子為普朗克常數(shù)h。1924 年，玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)假設(shè)相空間的體積是量子化的，其量子為h3。能量、作用量、相空間三者的量子化，是量子力學(xué)的三個(gè)里程碑。注意，作用量，角動(dòng)量以及對(duì)應(yīng)一個(gè)廣義坐標(biāo)的相空間體積都具有相同的量綱。

3 量子力學(xué)是如何創(chuàng)立的?

量子這個(gè)概念，最先走進(jìn)科學(xué)，見(jiàn)于黎曼1854 年的論文über die Hypothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen (論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的幾個(gè)假設(shè))。在這篇論文中，黎曼提出了流形的概念，奠立了微分幾何(廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)啊)，還第一次將量子(Quanta)用于科學(xué)：“流形之通過(guò)某些特征或者邊界相區(qū)分的部分稱為Quanta (圖2)。Quanta之量的比較依其性質(zhì)或者是通過(guò)計(jì)數(shù)得來(lái)的分立量，或者是通過(guò)測(cè)量得來(lái)的連續(xù)量。”量子化見(jiàn)于幾何，不稀奇。晶體的幾何量子就是它的單胞(unit cell)，截角八面體、平行六面體都可以是三維空間的全同量子。

圖2 黎曼1854 年的論文截圖

物理意義上的第一個(gè)量子概念是能量量子，確切說(shuō)是分子動(dòng)能的量子化，出現(xiàn)在玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann ， 1844 — 1906) 1877 年的論文里。為了得到氣體的麥克斯韋分布，

，玻爾茲曼引入了能量單元(Energieelement)的假設(shè)。一個(gè)由n 個(gè)粒子組成的體系，每個(gè)粒子具有的動(dòng)能是能量單位ε的0，1，2......p倍，則總能量一定的前提下平衡態(tài)時(shí)粒子數(shù)隨能量的分布是什么樣子的？這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于在約束n0+n1+…+np=n，和[0·n0+1·n1+…p·np]ε=E下求狀態(tài)數(shù)W = n!/(n0!n1!…np!) 的最大值。利用拉格朗日乘子法，可得結(jié)果為np∝ e-pε/kT ，此正是上述的麥克斯韋分布[1]。但是，玻爾茲曼在得到這個(gè)分布函數(shù)后，在隨后的求平均動(dòng)能、最可幾速率等操作中，又把能量當(dāng)成了連續(xù)的物理量加以處理，這樣他就相當(dāng)于把自己引入的革命性的概念隨手給掐死了。能量是連續(xù)的，在十九世紀(jì)末期是一個(gè)物理學(xué)家頭腦中根深蒂固的觀念。當(dāng)然了，玻爾茲曼隨手掐死了他自己引入的革命性概念，也是因?yàn)樗@樣做時(shí)沒(méi)遇到任何數(shù)學(xué)或物理上的困難。

到了1900 年，為了擬合黑體輻射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖3)，即找出空腔中光的能量體積密度隨頻率的分布，柏林大學(xué)的熱力學(xué)老師普朗克(Max Planck， 1858—1947)大膽地從熱力學(xué)著手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。普朗克主要是在維恩工作的基礎(chǔ)上往前摸索的。他從熵概念出發(fā)，假設(shè)

，也即

，解得平均能量Uν為

，則能量體積密度為

， 該函數(shù)可以給出圖3 中的曲線，同實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得非常好[2]。幾天以后，F(xiàn)erdinand Kurlbaum (1857—1927)計(jì)算得到其中的常數(shù)h=6.55×10-34 Js。

圖3 黑體輻射示意圖及實(shí)驗(yàn)得到的譜分布

這個(gè)瞎湊的公式的巨大成功帶來(lái)了極大的困惑。于是，普朗克另辟蹊徑，另行從統(tǒng)計(jì)物理的角度著手。普朗克假設(shè)P=Uν/hν是個(gè)整數(shù)(原文中提到，不是整數(shù)就取近似整數(shù)。普朗克一點(diǎn)也不激進(jìn))，這P 個(gè)能量單元來(lái)自N個(gè)頻率為ν的諧振子， 則平衡態(tài)對(duì)應(yīng)W = (P-N-1)!P!/(N-1)! 取最大值。利用普朗克首先寫(xiě)成如下形式的玻爾茲曼熵公式S=klogW， 得

，進(jìn)一步地可得

，同熱力學(xué)途徑得到的結(jié)果一模一樣。這樣普朗克就從兩種不同路徑得到了黑體輻射公式，這個(gè)公式從此就叫普朗克規(guī)律(Plancks Gesetz)， 他現(xiàn)在必須認(rèn)真對(duì)待他的假設(shè)了[3， 4]。P=Uν/hν是整數(shù)，這意味著hν是光的能量單元？光的能量真有單元，還和頻率成正比，啥意思啊？普朗克覺(jué)得很難接受。附帶說(shuō)一句，黑體輻射公式還有愛(ài)因斯坦、玻色、泡利、德拜等人的不同推導(dǎo)，筆者將另文專門(mén)介紹[5]。

1905 年，愛(ài)因斯坦(Albert Einstein， 1879—1955) 利用輻射具有基本能量單元hν 的假說(shuō)，成功地解釋了光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[6]。愛(ài)因斯坦進(jìn)一步假設(shè)固體吸收光也是按照吸收整個(gè)能量單位方式進(jìn)行的， 這樣， 出射的光電子動(dòng)能為Ekin = hν - ? ，就能很好地解釋光電效應(yīng)的測(cè)量結(jié)果(圖4)。至此，光有能量單位一事塵埃落定。后來(lái)，愛(ài)因斯坦還提出光的能量單元還有動(dòng)量單元hν/c。

圖4 幾種不同金屬作為電極的光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

量子力學(xué)的另一個(gè)源起是光譜學(xué)的研究。氫氣的液化溫度為20.28 K，這使得氫是倒數(shù)第二個(gè)被液化的氣體。有了液化氫就有了純凈的氫氣。氫氣放電的光譜那時(shí)可見(jiàn)四條線，波長(zhǎng)分別為6562.10，4860.74，4340.10 和4101.2?。這四個(gè)波長(zhǎng)包含什么秘密呢？1885 年，瑞士一中學(xué)數(shù)學(xué)老師巴爾莫(Johann Balmer， 1825—1898)發(fā)現(xiàn)這四個(gè)數(shù)是3645.6的9/5， 16/12， 25/21和36/32倍。寫(xiě)成公式就是正比于λ ∝ n2/(n2 - 22)，n=3，4，5，6。那么，n=7 呢？將n=7 代進(jìn)去，果然在計(jì)算所得波長(zhǎng)處發(fā)現(xiàn)有第五條譜線。這說(shuō)明氫的光譜線還真是有規(guī)律的，可是從這個(gè)表達(dá)式能看出什么名堂呢？里茲(Walther Ritz， 1878—1909) 建議把公式λ ∝ n2/(n2– 22) 倒過(guò)來(lái)，寫(xiě)成1/λ∝ 1/22 – 1/n2的形式。這引導(dǎo)人們猜測(cè)也許公式1/λ∝ 1/n2 – 1/m2 ，n=1， 2， 3，4......，m>n，對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)處都有譜線，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)果然如此。那么如何解釋這個(gè)公式1/λ∝ 1/n2 – 1/m2 給出的氫原子譜線的規(guī)律呢？

圖5 氫光譜照片

1913 年，玻爾(Niels Bohr， 1885—1962)提出了氫原子的行星模型，他認(rèn)為氫原子中電子以平方反比力被質(zhì)子所束縛，電子如同行星一樣有固定的運(yùn)行軌道。光是電子從高能量軌道向低能量軌道跳躍(jump，Sprung)后發(fā)出的，躍遷解釋了公式1/λ∝ 1/n2 – 1/m2 里的減號(hào)。可是，行星體系的能量是連續(xù)的， 為什么在氫原子體系里變成了En=ε0-C/n2 的形式。玻爾假設(shè)電子的軌道角動(dòng)量是量子化的， ∮pdx = nh ，在這個(gè)前提下去解平方反比力下的兩體問(wèn)題， 得

， 于是氫原子光譜線的頻率或者譜線位置問(wèn)題得到完美解決[7]。

圖6 氫光譜的全譜示意圖

然而，關(guān)于光譜線，除了位置以外，譜線的特征還包括亮度、寬度、精細(xì)結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)并度等諸多因素。12 年后的1925 年，在哥廷恩給玻恩(Max Born， 1882-1970 )當(dāng)助手的海森堡(Werner Heisenberg， 1901-1976)試圖回答譜線的強(qiáng)度問(wèn)題，遂引出了矩陣力學(xué)。注意，放光過(guò)程，躍遷，和兩個(gè)軌道有關(guān)系，那譜線強(qiáng)度也應(yīng)該和兩個(gè)軌道有關(guān)系吧？如果把一組軌道的能量先橫排，然后豎著排，考察它們之間的能量躍遷，這自然引入一個(gè)矩陣的形象。海森堡試著從軌道的傅里葉展開(kāi)中引入譜線的頻率，將之表示為兩項(xiàng)之差的方式。如果認(rèn)定譜線是來(lái)自振蕩的話， 其強(qiáng)度應(yīng)該是和振幅的平方成正比。海森堡將他的這一套思想試著在諧振子上尋找思路，得到了x(0)和p(0) 的表達(dá)式

然后呢，然后海森堡也不知道怎么好了，就把結(jié)果寫(xiě)了下來(lái)， 放到玻恩教授的辦公桌上，自己度假去了。玻恩教授認(rèn)出海森堡寫(xiě)成的東西是數(shù)學(xué)里的矩陣。玻恩計(jì)算矩陣形式的xp，發(fā)現(xiàn)xp - px = i?I ，這是有別于玻爾量子化條件的量子化條件。注意，愛(ài)因斯坦認(rèn)為處理輻射強(qiáng)度問(wèn)題應(yīng)該用經(jīng)典的躍遷幾率的概念替代振幅的概念。也許不算巧合的是， 從A經(jīng)許多不同的B 到達(dá)C 的過(guò)程，經(jīng)典概率的算法就是矩陣的乘法！玻恩將海森堡的這些內(nèi)容整理后以海森堡的名義發(fā)表。玻恩的助手約當(dāng)(Pascual Jordan， 1902—1980) 發(fā)現(xiàn)如接受xp - px = i?I ，則這意味著p ? -i??x ，即動(dòng)量是關(guān)于坐標(biāo)的微分算符。這個(gè)p ? -i??x 是量子力學(xué)關(guān)鍵的一步。后來(lái)， 玻恩和約當(dāng)一起發(fā)了一篇文章， 玻恩和約當(dāng)、海森堡又一起發(fā)了一篇文章，這就是關(guān)于量子力學(xué)的一種形式，矩陣力學(xué)，的三部曲[8—10]。同時(shí)期，英國(guó)的狄拉克(P. A. M. Dirac， 1902—1984)獨(dú)立地發(fā)展了躍遷概率理論[11]。

在另外的方向上，康普頓(Arthur Compton，1892—1962) 1923 年研究X-射線的電子散射， 發(fā)現(xiàn)散射后散射角越大，X-射線變得越長(zhǎng)?？灯疹D接受光的量子有能量ε=hν和動(dòng)量p=hν/c=h/λ的說(shuō)法， 利用經(jīng)典的彈球碰撞模型， 求得散射后X 射線波長(zhǎng)同散射角之間的關(guān)系， 即康普頓散射公式

。這算是確認(rèn)了光有能量單元和動(dòng)量單元，是光有粒子性的一個(gè)強(qiáng)有力證據(jù)。

圖7 γ光子轟擊原子核產(chǎn)生電子—正電子對(duì)過(guò)程的氣泡室內(nèi)粒子徑跡照片

1923 年，德布羅意(Louis de Broglie， 1892—1987)提出了物質(zhì)波的概念，電子這樣的粒子也是波，粒子的波長(zhǎng)為λ=h/p，頻率ν=E/h[12]。德布羅意的博士論文傳到德國(guó)，愛(ài)因斯坦表示說(shuō)“很有意思”，德拜(Peter Debye， 1884—1966) 嘟囔了一句“總該有個(gè)波動(dòng)方程吧？” 而薛定諤(Erwin Schr?dinger， 1887—1961)， 他早就對(duì)經(jīng)典力學(xué)—經(jīng)典光學(xué)之間的類比有深刻研究(證據(jù)見(jiàn)于薛定諤的多本筆記)，很快就領(lǐng)會(huì)了德布羅意論文的內(nèi)容。薛定諤于1925 年圣誕節(jié)上了一個(gè)滑雪場(chǎng)，在那里待了一周，得到了著名的薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ 。他將這個(gè)方程應(yīng)用到了氫原子上，得到方程形式為

復(fù)雜得嚇人，其解

樣子也很嚇人， 而得到的量子化的能量為En?m∝ -1/n2 ，與玻爾的結(jié)果看起來(lái)完全相同。但是，這個(gè)能量表達(dá)式與玻爾的結(jié)果相比有質(zhì)的飛躍，這里的能量是三個(gè)變量或曰量子數(shù)，( n,?,m )的函數(shù)。這樣，量子力學(xué)就有了第二種形式，波動(dòng)力學(xué)。薛定諤的文章題目為量子化是本征值問(wèn)題(Quantisierung als Eigenwertproblem)， 題目大有深意。文章分為四部分，發(fā)表于1926年[13]。

到了1926 年，光的粒子性算是確立了， 于是化學(xué)家路易(Gilbert N. Lewis)造了photon(光子)一詞。1927 年，戴維森(Clinton Davisson，1881—1958) 和革末(Lester Halbert Germer，1896—1971)用電子束轟擊Ni 晶體。玻恩認(rèn)識(shí)到那花樣是晶體對(duì)波的散射的結(jié)果。至此，電子具有波動(dòng)性質(zhì)得到確認(rèn)。

那么，薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ 的主角，波函數(shù)ψ ，的物理意義是什么？按照薛定諤的說(shuō)法，eψ* ψ 是電子的電荷在空間中的分布，而玻恩指出電子是粒子， ψ* ψdτ 是電子在空間體積元dτ出現(xiàn)的幾率，這就是波函數(shù)的幾率詮釋。這個(gè)詮釋同波函數(shù)作為矢量的性質(zhì)是相關(guān)的， 這也是波函數(shù)也稱為波矢的原因。對(duì)波函數(shù)有許多不負(fù)責(zé)任的詮釋。

1924 年，泡利(Wolfgang Pauli， 1900—1958)根據(jù)許多實(shí)驗(yàn)， 包括銀原子束在不均勻磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)， 推斷電子還存在一個(gè)二值的自由度， 并提出了“ 不相容原理”， 指向了電子自旋這一內(nèi)稟自由度。泡利矩陣是描寫(xiě)自旋角動(dòng)量的數(shù)學(xué)工具。1927 年，泡利針對(duì)薛定諤方程給出了H = 1/2m[σ ?(p-qA)]2 + q? 形式的哈密頓量，包含電子同電磁場(chǎng)的相互作用，將這個(gè)哈密頓量用之于薛定諤方程-i??ψ/?t = Hψ ，則必須要求波函數(shù)是二分量的，

。這個(gè)意義下的薛定諤方程也稱為泡利方程[14]。泡利還于1930 年預(yù)言了中微子的存在。加入了自旋，原子中電子的狀態(tài)可以用四個(gè)量子數(shù)， (n,?,m; ms) ，來(lái)表征。

在這段時(shí)期，英國(guó)的狄拉克在量子力學(xué)創(chuàng)立方面不斷取得進(jìn)展。他發(fā)展了躍遷概率理論，從經(jīng)典泊松括號(hào)得到了對(duì)應(yīng)量子化條件的一般意義下的兩個(gè)算符之間的對(duì)易式， uv - vu = i?[u,v] 。他還想得到了相對(duì)論版的量子力學(xué)[12]。從相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系E2= p2c2 + m2c4 出發(fā)得到的克萊因—戈登方程

，后來(lái)發(fā)現(xiàn)只能描述自旋為0 的粒子，不適用于電子。于是，狄拉克嘗試把二次型E2 = p2c2 + m2c4 降解到線性的層次，即嘗試做因式分解x2 + y2 =(αx + βy)2 。狄拉克發(fā)現(xiàn)若α2= β2 = 1 ， αβ + βα = 0 ，則完成所需的因式分解。對(duì)于二次型E2 = p2c2 + m2c4 ，這樣的分解要求α，β至少是4×4 的反對(duì)稱矩陣。狄拉克構(gòu)造了這樣的矩陣， 寫(xiě)出了相對(duì)論量子力學(xué)方程i?γμ?μψ - mcψ = 0 ，這里的波函數(shù)ψ 是四分量的，

。狄拉克為了解釋他的量子力學(xué)方程的解，不得已于1931 年提出了反電子的概念，反電子隨于1932年被發(fā)現(xiàn)。

關(guān)于量子力學(xué)的創(chuàng)立，維格納(Eugene Wigner，1902—1995) 這個(gè)人也是要提的，他和外爾(Hermann Weyl， 1885—1955) 一起將群論引入了量子力學(xué)，有了群論的量子力學(xué)才能理解光譜的各種特征，包括譜線在電場(chǎng)下和磁場(chǎng)下的分裂(Stark效應(yīng)，Zeeman 效應(yīng))。1922~1925 年間， 維格納在其博士論文中首次提到分子的激發(fā)態(tài)有能量展寬Δε， 它同平均壽命Δt 通過(guò)關(guān)系式Δε·Δt~h相聯(lián)系，而海森堡提出Δx·Δp~h 的不確定性關(guān)系是在1927 年。當(dāng)然了，筆者再次強(qiáng)調(diào)，不存在什么不確定性原理所宣稱的那些問(wèn)題，比如什么粒子位置測(cè)量得越準(zhǔn)確、動(dòng)量就越不準(zhǔn)確的渾話。如果大家拿一維方勢(shì)阱和諧振子的精確解計(jì)算一下的話，容易發(fā)現(xiàn)位置和動(dòng)量的不確定性是正相關(guān)的！

外爾首先是個(gè)數(shù)學(xué)家，業(yè)余時(shí)間對(duì)量子力學(xué)和相對(duì)論都做出了奠基性的工作，還創(chuàng)立了規(guī)范場(chǎng)論。據(jù)信是外爾幫助薛定諤求解了氫原子的薛定諤方程的。外爾這樣的數(shù)學(xué)家做的物理才更像物理。

1924 年，印度人玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)在假設(shè)相空間具有體積單元h3 的前提下也得出了黑體輻射公式。愛(ài)因斯坦接著玻色的工作發(fā)展起了玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)。自旋為整數(shù)的粒子都滿足玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)，被稱為玻色子。玻色1924 年的兩篇德語(yǔ)論文[15,16]都是愛(ài)因斯坦翻譯的，這是科學(xué)史上難得的一段佳話。玻色的量子化讓量子化又回到了幾何。

1926 年， 馮·諾依曼(John von Neumann，1903—1957)指出，算符的本征態(tài)張成一個(gè)矢量空間并名之為希爾伯特空間，量子態(tài)可以看成希爾伯特空間中的一個(gè)矢量；1932 年， 馮·諾依曼撰寫(xiě)了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書(shū)。在這本書(shū)里，馮·諾依曼建議把測(cè)量理解為坍縮過(guò)程，一個(gè)處于疊加態(tài)的體系，當(dāng)對(duì)它進(jìn)行測(cè)量時(shí)，會(huì)坍縮到待測(cè)量體系的一個(gè)本征態(tài)，測(cè)量結(jié)果為對(duì)應(yīng)的本征值。這個(gè)測(cè)量原理是大有問(wèn)題的，首先這個(gè)說(shuō)法沒(méi)有根據(jù)。其次，所謂的測(cè)量是個(gè)相互作用過(guò)程，比這個(gè)簡(jiǎn)單的坍縮要表達(dá)的意思復(fù)雜的多。退一步說(shuō)，即便測(cè)量真的是坍縮到待測(cè)物理量的本征態(tài)上，許多物理問(wèn)題就沒(méi)有，比如關(guān)于位置的，完備集表示，自然也就沒(méi)有作為算符本征值的位置測(cè)量。

關(guān)于量子力學(xué)還有個(gè)關(guān)鍵的人物，索末菲(Arnold Sommerfeld， 1868—1951)。索末菲和玻恩一樣，是導(dǎo)師的大老師級(jí)的人物，泡利、海森堡、德拜(Peter Debye)、貝特(Hans Bethe)、鮑林(Linus Pauling)這些諾獎(jiǎng)得主皆出自其門(mén)下。索末菲認(rèn)為玻爾模型把電子限制在一個(gè)平面內(nèi)，簡(jiǎn)化得太狠了些，電子是在整個(gè)三維空間內(nèi)繞原子核運(yùn)動(dòng)的。三維空間內(nèi)繞一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可由距離r 和兩個(gè)角坐標(biāo)，傾角θ和方位角? ，來(lái)描述。傾角θ和方位角? 分別引入了第二和第三量子數(shù)。1916 年索末菲引入三維的量子化模型，

，量子化的條件為∮pdx = kh ，解出的能量形式為E ∝ -1/(? + k)2 。也就是說(shuō)，玻爾模型里的那個(gè)n， 是這里的k。索末菲的工作是舊量子力學(xué)的關(guān)鍵。

至此，我們有了波函數(shù)一分量的薛定諤方程、波函數(shù)二分量的泡利方程和波函數(shù)四分量的狄拉克方程， 以及克萊因—戈登方程，有了能量量子化(hν)，作用量量子化(h)， 和相空間量子化(h3)，量子力學(xué)的大框架就算有了。相空間量子化讓統(tǒng)計(jì)意義的量子力學(xué)走向了量子統(tǒng)計(jì)。還有一個(gè)值得注意的問(wèn)題是量子力學(xué)把物理量當(dāng)作算符，而兩算符之間的對(duì)易關(guān)系決定了其在量子力學(xué)中的角色。筆者斗膽提出，量子力學(xué)中算符的對(duì)易關(guān)系可分為三重。第一重，兩算符對(duì)易， [A,B] = 0 ，這樣的一對(duì)算符有共同的本征態(tài)。量子力學(xué)一個(gè)任務(wù)是找一組相互對(duì)易算符的共同本征態(tài)作為解的完備集。第二重，對(duì)易，但對(duì)易子為常數(shù)，比如量子化條件， [x,p] = i? 。不對(duì)易的算符沒(méi)有共同本征態(tài)，但這個(gè)關(guān)系不足以確定本征態(tài)。類似x， p 這樣的沒(méi)有共同本征態(tài)的一對(duì)算符讓海森堡于1927年一通發(fā)揮，遂有了所謂的不確定性原理，然后又有更不負(fù)責(zé)任的人給發(fā)揮得神乎其神。其實(shí)，關(guān)系[x,p] = i? 與傅里葉分析有關(guān)，其帶來(lái)的算符之均方差的關(guān)系， Robertson 于1929—1930 年有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)研究， 不可以亂加詮釋的。第三重是類似[J,J] = i?J ，這個(gè)和李代數(shù)有關(guān)。這個(gè)對(duì)易關(guān)系是一個(gè)更強(qiáng)的約束，實(shí)際上它已經(jīng)能確定下來(lái)自己的表示了，與經(jīng)典或者量子無(wú)關(guān)。有興趣的讀者請(qǐng)仔細(xì)思考一下角動(dòng)量的表示問(wèn)題。

至此，如果要問(wèn)什么是量子力學(xué)，我們可以說(shuō)量子力學(xué)就是由量子力學(xué)方程及伴隨的概念、觀念所構(gòu)成的一個(gè)物理理論體系。量子力學(xué)是一個(gè)集體智慧的結(jié)晶，是人類發(fā)展史上罕見(jiàn)的頭腦風(fēng)暴爆發(fā)。因?yàn)閷?duì)發(fā)展量子力學(xué)的貢獻(xiàn)而獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?wù)甙ㄆ绽士?1918)，愛(ài)因斯坦(1922 年獲得1921 年度的)，玻爾(1922)，康普頓(1927)，德布羅意(1929)，海森堡(1932)，薛定諤與狄拉克(1933)， 泡利(1945)， 玻恩(1954)， 等等。其中，愛(ài)因斯坦獲得的是1921 年空缺的，玻恩則遲至1954 年才終于獲獎(jiǎng)，而偏偏這兩位才是奠立量子力學(xué)的關(guān)鍵人物。人世間的事兒啊，想來(lái)令人唏噓。

回顧一下量子力學(xué)的創(chuàng)立過(guò)程，發(fā)現(xiàn)它就是一個(gè)猜的過(guò)程。構(gòu)造量子力學(xué)，或者說(shuō)構(gòu)造近代物理，這是一門(mén)藝術(shù)。用玻恩的話說(shuō)，是猜出正確公式的藝術(shù)(The art of guessing correct formulae)。當(dāng)然應(yīng)該看到，猜的人對(duì)經(jīng)典力學(xué)有深刻的理解。在1930 年以前構(gòu)造量子力學(xué)過(guò)程中用到的所有物理，都是經(jīng)典物理。有人會(huì)問(wèn)，量子力學(xué)客觀嗎，量子力學(xué)正確嗎？關(guān)于客觀性，我覺(jué)得這是個(gè)偽問(wèn)題。人類的物理學(xué)，取決于人這種存在自身的物理及其與環(huán)境間的相互作用，必然打上人的烙印，而且是特定時(shí)代的人的烙印。古希臘智者色諾芬說(shuō)，“如果牛有上帝，牛的上帝一定長(zhǎng)有犄角。” 可以想象，螃蟹設(shè)計(jì)的汽車，注定是橫行的。怎么可以要求我們?nèi)祟悇?chuàng)造的量子力學(xué)是客觀的呢？它一定或多或少地帶上人類的烙印。

4 量子力學(xué)的輝煌成就

量子力學(xué)正確不正確？這個(gè)問(wèn)題不好回答，但是我們轉(zhuǎn)而問(wèn)量子力學(xué)給我們帶來(lái)了什么新的關(guān)于自然的認(rèn)知。試舉幾例。其一，將薛定諤方程用于晶體，周期勢(shì)場(chǎng)下薛定諤方程的解告訴我們什么是導(dǎo)體，什么是絕緣體。于是有了半導(dǎo)體的概念。半導(dǎo)體可以有n-型和p-型兩種載流子， 電導(dǎo)率可以在十幾個(gè)數(shù)量級(jí)范圍內(nèi)變化， 可以制成不同的結(jié)， 由此才有了電子學(xué)和我們的信息化社會(huì)！其二， 量子力學(xué)導(dǎo)出的氫原子能量是四個(gè)量子數(shù)(n?m; ms) 的函數(shù)。ms 只取(1/2, -1/2)兩個(gè)值，而對(duì)于給定的自然數(shù)n,? = 0,1,…n - 1 ， m = -?, -? + 1,…? - 1,? 。這樣，對(duì)于給定的n， 四個(gè)量子數(shù)(n?m; ms) 的組合共有2n2 種可能。2n2 = 2,8,18,32…, 看到2,8,18,32( = 18+14) 人們會(huì)想起元素周期表。量子力學(xué)解釋了元素周期表就該長(zhǎng)成那個(gè)樣子。其三，普朗克分布律是量子力學(xué)的緣起，1917 年，愛(ài)因斯坦利用輻射~物質(zhì)相互作用處于熱平衡的模型重新得到了普朗克分布[17]， 在這個(gè)工作中提出了受激輻射的概念。受激輻射是激光的概念基礎(chǔ)。1960年，人類制造出了激光器。激光器在今天可說(shuō)是無(wú)處不在。

5 如何學(xué)習(xí)量子力學(xué)?

量子力學(xué)是約一百年前一伙兒天才們的頭腦風(fēng)暴的產(chǎn)出，它和相對(duì)論幾乎同步發(fā)展起來(lái)。量子力學(xué)和相對(duì)論是現(xiàn)代物理的兩大支柱，實(shí)際上它們都首先是關(guān)于光與電子的學(xué)問(wèn)。量子力學(xué)和相對(duì)論，從前是天才們的創(chuàng)造物，如今應(yīng)該是受教育者的知識(shí)標(biāo)配，至少該是中學(xué)生的知識(shí)標(biāo)配。那么，如何學(xué)習(xí)量子力學(xué)呢？筆者個(gè)人的建議是， 如果你關(guān)注創(chuàng)造史，從量子力學(xué)構(gòu)造的歷史著手學(xué)習(xí)， 可以讀讀Mehra 的The historical development of quantum theory；如果你關(guān)注量子的哲學(xué)，可以讀讀Jammer 的The philosophy of quantum mechanics；如果你打算研究一下量子力學(xué)創(chuàng)立者的工作手冊(cè)， 可以讀讀Dirac 的The principles of quantum mechanics；如果你關(guān)注量子力學(xué)的數(shù)學(xué)，可以讀讀Von Neumann 的Mathematical foundations of quantum mechanics；如果你關(guān)注量子力學(xué)新論， 可以讀讀Weinberg 的Lectures on quantum mechanics；如果你只關(guān)注習(xí)題集，可以讀讀Flügge 的Practical quantum mechanics；如果你只想讀一本最淺顯的入門(mén)書(shū)， 不妨讀讀筆者的《量子力學(xué)—少年版》[18]。但是，不管怎樣，如果你真想了解一點(diǎn)量子力學(xué)的話，請(qǐng)讀由物理學(xué)家撰寫(xiě)的關(guān)于量子力學(xué)的嚴(yán)肅讀物。子不語(yǔ)怪力亂神，切記！

坊間有云：量子力學(xué)要量力而學(xué)，這是說(shuō)量子力學(xué)很難學(xué)。筆者想說(shuō)的是，首先量子力學(xué)不難學(xué)；其次，再難學(xué)也要學(xué)不是。我必須再次強(qiáng)調(diào)，量子力學(xué)是一門(mén)嚴(yán)肅的學(xué)問(wèn)，是經(jīng)典物理的自然延續(xù)。人們學(xué)習(xí)量子力學(xué)的困難主要在于沒(méi)有認(rèn)真學(xué)過(guò)經(jīng)典物理。在學(xué)習(xí)量子力學(xué)之前，如下的預(yù)備知識(shí)應(yīng)該是學(xué)過(guò)或者至少聽(tīng)說(shuō)過(guò)的，這包括但不限于普通力學(xué)，分析力學(xué)，經(jīng)典光學(xué)，電磁學(xué)，流體力學(xué)，熱力學(xué)，原子物理，場(chǎng)論，相對(duì)論……微積分，變分法，常微分方程，數(shù)理方程，復(fù)分析，概率論，傅里葉分析，線性代數(shù)，群論，不變量理論，等等。一句話，量子力學(xué)“說(shuō)難學(xué)，也好學(xué)。人家咋著咱咋著！”跟隨嚴(yán)肅的學(xué)者，使用嚴(yán)肅的教科書(shū)，沒(méi)人會(huì)被量子力學(xué)拒之門(mén)外。

參考文獻(xiàn)

注：本文涉及的所有法文和德文的量子力學(xué)基礎(chǔ)論文，網(wǎng)上都有英文譯本，有興趣的讀者不妨對(duì)照閱讀，從中參悟讀大家原文的好處。

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本文選自《物理》2020年第2期