夜已深，還有什么人，像你這樣醒著數(shù)傷痕...

已是凌晨4點多，這場萬眾矚目的歐冠半決賽首回合已經(jīng)進行到了75分鐘，場上比分依然是0比0。掐滅手頭的煙，老程又看了一眼手機，bet365滾球盤大0.5球的賠率已經(jīng)來到了2.02?；蜀R的攻勢一浪高過一浪，離進球似乎就差那么一點點了，比賽已經(jīng)來到了決勝時刻, 老程一口干掉了杯中的啤酒，這一注大0.5究竟要不要上?!

賭狗老程究竟能否成功收米？明天究竟是會所嫩模還是下地干活? 歡迎來到這一些的走近科學(xué), 本篇我們從預(yù)期收益率談起，然后統(tǒng)計學(xué)的角度來分析75分鐘后進球的概率是多少，最后為老程推演出"75+滾球策略", 解決他的困擾。

預(yù)期收益率

足球博彩長期盈利的根本是什么？從數(shù)學(xué)的角度來說，如果能保證每一單投注的預(yù)期收益為正，那么長期來看就能實現(xiàn)盈利。保持每單投注的預(yù)期收益為正，這個看似簡單的目標在現(xiàn)實中其實是一個不可能完成的任務(wù)(mission impossible)：因為博彩公司抽水的存在，玩家每一次投注的預(yù)期收益都是略小于0的。

舉一個簡單的例子來說明何為預(yù)期收益:

假設(shè)國際米蘭主場戰(zhàn)勝拜仁慕尼黑的概率為35%, 那么只有當主勝賠率大于 1/0.35 ~= 2.86時, 投注國際米蘭獲勝的收益預(yù)期才是正的。2.86賠率的數(shù)學(xué)解釋非常簡單: 投注100元, 你有65%概率損失掉這100元, 有35%的概率盈利286元(盈利186元), 預(yù)期損失: 100*0.65 = 65. 預(yù)期收益: 186*0.35 = 65. 此時2.86是一個盈虧平衡點，當主勝賠率大于2.86時，投注國際米蘭的預(yù)期收益為正

有經(jīng)驗的讀者很容易發(fā)現(xiàn)關(guān)于獲取正預(yù)期收益的兩個挑戰(zhàn)：

國際米蘭戰(zhàn)勝拜仁的概率是一個很難量化的指標。一場足球比賽是一個22名頂級球員外加裁判教練員組成的復(fù)雜系統(tǒng)。在開場哨響起的那一刻，這個復(fù)雜系統(tǒng)就開始根據(jù)算法(比賽規(guī)則，球隊戰(zhàn)術(shù))進行演化。這個系統(tǒng)又受到外部輸入的影響：球迷助威，主場澆水，天氣變化，VAR裁判等等并產(chǎn)生實時的反饋。最終的得出的比賽結(jié)果顯然是難以量化的。由于莊家10%左右抽水的存在，假設(shè)國際米蘭戰(zhàn)勝拜仁的概率是35%, 市場通常只會給到2.80左右的主勝賠率，此時投注的預(yù)期收益為負值。

由于以上兩個客觀因素的存在，長期獲取正的投注預(yù)期收益在現(xiàn)實中其實是不現(xiàn)實的，但這并不妨礙我們用預(yù)期收益這個核心思路來指導(dǎo)決策。下面我們來嘗試回答開篇提出的問題: 75分鐘后進球賠率為多少時是值得投注的?

進球時間分布的規(guī)律

兩只球隊直接交手的勝負因為樣本量過小的緣故，無法從統(tǒng)計的角度切入來獲取勝平負的概率。但是進球的時間分布則不同，因為進球時間交戰(zhàn)球隊的相關(guān)性不高，所以可以獲得足夠多的樣本，可以從統(tǒng)計學(xué)的角度觀測足球比賽不同時間段進球的概率。

下圖是歷年歐冠聯(lián)賽和歐洲杯賽事里進球按時間段分布的統(tǒng)計。將一場90分鐘的比賽分為以15分鐘為一段，分為6個時間段，統(tǒng)計每個時間段進球的數(shù)量和其占總進球的比例。可以看到75分鐘后進球的占比通?？梢赃_到20%以上，顯著高于其它時間段。

歐冠和歐洲杯進球時間分布

導(dǎo)致足球比賽75分鐘后進球概率更高的原因主要有以下幾點：

由于比賽存在3～5分鐘不等的傷停補時，這段時間的進球也會計入75+這個時間段。75+時間段其實是統(tǒng)計了約20分鐘的進球數(shù)。足球比賽里，弱勢方打強勢方的普遍戰(zhàn)術(shù)就是前80分鐘盡量茍住，最后10分鐘找機會偷雞。比賽的最后10分鐘往往是雙方短兵相接的決勝時刻，也意味著更高的進球率。另一方面，由于足球比賽里防守一方的體力消耗大于進攻方，75分鐘左右是防守方體力的一個極點，在這個時間段，優(yōu)勢的一方只需持續(xù)施壓，就能給對手送上壓死駱駝的最后一根稻草。足球比賽的換人也往往集中在75分鐘這個時間段，雙方人員和陣型的變化可能會破壞系統(tǒng)原有的動態(tài)平衡，改變比賽的節(jié)奏，產(chǎn)生進球。

構(gòu)建"75+滾球策略"

統(tǒng)計數(shù)據(jù)指向了一個顯著的事實：足球比賽75分鐘后進球的概率顯著高于比賽的其它時間段。許多朋友會將這一常識運用到博彩中，在75分鐘后等待“滿水”, 追一手大x.5球，不妨將這個策略稱為"75+滾球策略"。那么這是否是一個能夠穩(wěn)定盈利的策略呢?

還記得前面提到的預(yù)期收益率嗎？要構(gòu)建一個成功的滾球策略，我們必須知道多高的75+分鐘進球賠率的會讓我們的預(yù)期收益率為正。

下面我們通過數(shù)據(jù)來嘗試推導(dǎo)出這個讓"75+滾球策略"預(yù)期收益為正的臨界點賠率:

下面是近年來英超賽季的平均進球數(shù)據(jù):

21-22賽季的英超進球數(shù)據(jù)如下:

英超21-22賽季進球時間分布

使用21-22賽季的數(shù)據(jù)做推導(dǎo): 每場比賽的平均進球為2.82，75+分鐘后進球的概率為23%。根據(jù)這兩個數(shù)據(jù)得出75+分鐘后的預(yù)期進球約為2.82 * 23% ~= 0.65: 每100場比賽，75分鐘后的進球數(shù)約有65個。根據(jù)0.65這個平均進球值我們能否認定上賽季英超比賽75分鐘后進球的概率為65%呢? 答案是否定的。因為這65個進球可能不是均勻分布的，可能集中在其中的40場比賽，而另外60場比賽75分鐘后進球為0, 此情景下時75分鐘后進球概率為40%。事實上，65%可以視作為75分鐘后進球概率的上限。

值得注意的是足球比賽的進球并非獨立概率事件，而是和場上的局勢相互關(guān)聯(lián)的: 當場上比分是1:0時，75分鐘后的進球概率和場上比分為0:0時是不一樣的。當75分鐘時比賽總進球數(shù)達到5個以上時，此時已經(jīng)顯著偏離2.83的場均進球，其后再進球的概率也會相應(yīng)降低。

雖然使用平均進球和75分鐘后進球比例來推導(dǎo)臨界賠率的方法此路不通，但是用統(tǒng)計的方法來求臨界賠率的方向是正確的。我們采用更簡單粗暴的方法，直接通過對近3年來5大聯(lián)賽和歐冠共2347場比賽的進球時間分布數(shù)據(jù)的統(tǒng)計來得出75+進球的概率, 以消除采取平均值時帶來的誤差：

上面的數(shù)據(jù)咋看一下頗為驚人: 在統(tǒng)計的2347場比賽里, 有1171場(49.9%)的比賽在75分鐘后都有進球! 75+進球策略的臨界賠率是2.0!!

這個臨界賠率符合我們的經(jīng)驗: 比賽進行到75分鐘時，實時進球的賠率往往會給到2左右:

09.14歐冠皇馬對陣萊比錫76分鐘時的進球賠率

根據(jù)上面的數(shù)據(jù), 我們可以將“75+滾球策略”描述如下:

比賽進行到75分鐘時, 如果繼續(xù)進球賠率大于2.0, 則可進行買入，此次投注的預(yù)期收益為正。

就是這么簡單粗暴，只要嚴格執(zhí)行這個策略，老程就能高枕無憂，夜夜笙歌了。然而這個策略是否還有優(yōu)化的空間呢？答案是肯定的！

還記得前面提到的進球與當時場上比分的相關(guān)性嗎？當場上比分為1:0時和場上比分為1:1時, 75分鐘后進球的概率是相同的嗎?

依然用數(shù)據(jù)說話，統(tǒng)計不同場面局勢下75分鐘后發(fā)生進球的概率(后驗概率):

75分鐘后進球概率: 基于當前已有進球數(shù)的統(tǒng)計

數(shù)據(jù)揭示了另一個重要的現(xiàn)象就是當比賽已有進球數(shù)為奇數(shù)時(非均衡態(tài))，75分鐘后發(fā)生進球的概率顯著高于場上比賽進球數(shù)為偶數(shù)球時(均衡狀態(tài))。場上比分為0:0時, 75分鐘后進球的概率為最低, 僅有43%

這個數(shù)據(jù)是符合人們的經(jīng)驗的: 無論是聯(lián)賽還是賽會制的淘汰賽，平局是一個雙方都能接受的最低結(jié)果，75分鐘后不求有功帶求無過的思路導(dǎo)致進球概率偏低。以一些常見比分為例對球隊戰(zhàn)意進行剖析:

平衡態(tài): 75分鐘時, 場上比分仍為0:0, 1:1 (總進球為偶數(shù))

雙方球隊的思路更傾向于不求有功，但求無過。隨著體能的下降，逼搶和壓迫的強度自然下降，如果一方選擇中后場倒腳和拖延時間，另一方將很難組織起有效的進攻。

非平衡態(tài): 75分鐘時, 場上比分為2:0 (總進球為偶數(shù))

此時落后方因為扳平希望渺茫，可能選擇就地躺平。領(lǐng)先方因為優(yōu)勢已經(jīng)確立，在漫長的聯(lián)賽中往往選擇留力下一場比賽。

非平衡態(tài): 75分鐘時, 場上比分為1:0, 2:1 (總進球為奇數(shù))

落后方為了扳平比分通常會選擇換人調(diào)整并將陣型前壓，采取更為激進的踢法。這種搏命的踢法如果奏效，則會將比分扳為。另一方面，大舉壓上造成的后防空虛也可能導(dǎo)致對方反擊進球。無論哪一種結(jié)果，75分鐘后進球的概率都會大于場面為均衡態(tài)時。

利用上面的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)過完善后的"75+滾球策略"如下:

比賽進行到75分鐘時, 如果場上已有的進球數(shù)為奇數(shù), 場面為非均衡態(tài), 且繼續(xù)進球賠率大于2.0, 則可進行買入

有了這個優(yōu)化后的策略作指引，相信老程在滾球時從此有據(jù)可依，不再迷茫。那么老程是否真的就能靠此發(fā)家致富呢？理論是美好的，現(xiàn)實是殘酷的，莊家的滾球賠率正是根據(jù)概率統(tǒng)計來計算的，在比賽75分鐘場面為非均衡態(tài)時，因為抽水的存在，通常會給出一個略低于2.0的賠率，從而讓我們理論中的預(yù)期收益為正的策略失效。進一步優(yōu)化的策略依賴基于場上已有信號進行評分的體系來輔助，不在本文的討論范圍之類，感興趣的讀者可以在本專欄其它幾篇文章里尋找答案。

以上就是本期走近科學(xué)的全部內(nèi)容，我們研究了足球比賽進球在時間分布上的規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了一個理論上預(yù)期收益為正的"75+滾球策略"。下一期讓我們珍愛生命，遠離賭博，聊一聊足球比賽里的高位壓迫和量化統(tǒng)計方法。

往期回顧:

Alan Cao：<走近科學(xué)>---定位球進攻的弦外之音

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